题目

16.单选题(3分) 对于给定的正数α(0 <1)，设u_(alpha)、χ_(alpha)^2(n)、t_(alpha)(n)分别是标准正态分布、χ^2(n)分布、t(n)分布的水平α的上侧分位数，下面结论中不正确的是【】。 A u_(1-alpha)=-u_(alpha) B t_(1-alpha)(n)=-t_(alpha)(n) C u_(1-alpha)=-u_(alpha) D χ_(1-alpha)^2(n)=-χ_(alpha)^2(n)

16.单选题(3分) 对于给定的正数α(0 <1)，设$u_{\alpha}$、$χ_{\alpha}^{2}(n)$、$t_{\alpha}(n)$分别是标准正态分布、$χ^{2}(n)$分布、t(n)分布的水平α的上侧分位数，下面结论中不正确的是【】。 A $u_{1-\alpha}=-u_{\alpha}$ B $t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n)$ C $u_{1-\alpha}=-u_{\alpha}$ D $χ_{1-\alpha}^{2}(n)=-χ_{\alpha}^{2}(n)$

题目解答

答案

为了确定哪个结论不正确，我们需要分析每个分布的性质及其分位数。 1. 标准正态分布： - 标准正态分布关于0对称。 - 水平$1-\alpha$的上侧分位数$u_{1-\alpha}$是这样的值，即标准正态随机变量大于$u_{1-\alpha}$的概率为$1-\alpha$。 - 由于对称性，标准正态随机变量小于$-u_{\alpha}$的概率也是$1-\alpha$。 - 因此，$u_{1-\alpha} = -u_{\alpha}$。 - 结论A和C是正确的。 2. t分布： - t分布也关于0对称。 - 水平$1-\alpha$的上侧分位数$t_{1-\alpha}(n)$是这样的值，即t随机变量大于$t_{1-\alpha}(n)$的概率为$1-\alpha$。 - 由于对称性，t随机变量小于$-t_{\alpha}(n)$的概率也是$1-\alpha$。 - 因此，$t_{1-\alpha}(n) = -t_{\alpha}(n)$。 - 结论B是正确的。 3. 卡方分布： - 卡方分布不对称，且总是非负的。 - 水平$1-\alpha$的上侧分位数$\chi_{1-\alpha}^2(n)$是这样的值，即卡方随机变量大于$\chi_{1-\alpha}^2(n)$的概率为$1-\alpha$。 - 由于卡方分布非负且不对称，$\chi_{1-\alpha}^2(n) \neq -\chi_{\alpha}^2(n)$。 - 结论D是不正确的。因此，不正确的结论是$\boxed{D}$。

解析

本题主要考查标准正态分布、$\chi^{2}(n)$分布、$t(n)$分布的性质以及上侧分位数的概念。解题的关键在于明确各分布的对称性特点，然后根据上侧分位数的定义来判断各个结论的正确性。

1. 标准正态分布

标准正态分布的概率密度函数关于$y$轴对称，即关于$0$对称。设$Z$为标准正态随机变量，其概率密度函数为$\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}$。
水平$\alpha$的上侧分位数$u_{\alpha}$满足$P(Z > u_{\alpha})=\alpha$；水平$1 - \alpha$的上侧分位数$u_{1-\alpha}$满足$P(Z > u_{1-\alpha})=1 - \alpha$。
由于分布的对称性，$P(Z < -u_{\alpha}) = 1 - P(Z \geq -u_{\alpha}) = 1 - P(Z \leq u_{\alpha}) = 1 - (1 - \alpha) = \alpha$，而$P(Z > u_{1-\alpha}) = 1 - \alpha$，所以$u_{1-\alpha} = -u_{\alpha}$。因此，结论A和C是正确的。

2. $t$分布

$t(n)$分布的概率密度函数也关于$0$对称。设$T$为$t(n)$分布的随机变量，其概率密度函数为$f(t)=\frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{t^{2}}{n})^{-\frac{n + 1}{2}}$。
水平$\alpha$的上侧分位数$t_{\alpha}(n)$满足$P(T > t_{\alpha}(n))=\alpha$；水平$1 - \alpha$的上侧分位数$t_{1-\alpha}(n)$满足$P(T > t_{1-\alpha}(n))=1 - \alpha$。
同样因为分布的对称性，$P(T < -t_{\alpha}(n)) = 1 - P(T \geq -t_{\alpha}(n)) = 1 - P(T \leq t_{\alpha}(n)) = 1 - (1 - \alpha) = \alpha$，而$P(T > t_{1-\alpha}(n)) = 1 - \alpha$，所以$t_{1-\alpha}(n) = -t_{\alpha}(n)$。因此，结论B是正确的。

3. $\chi^{2}$分布

$\chi^{2}(n)$分布的概率密度函数是不对称的，并且其取值范围是$[0, +\infty)$，即$\chi^{2}(n)$分布总是非负的。设$\chi^{2}$为$\chi^{2}(n)$分布的随机变量，其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, x > 0$。
水平$\alpha$的上侧分位数$\chi_{\alpha}^{2}(n)$满足$P(\chi^{2} > \chi_{\alpha}^{2}(n))=\alpha$；水平$1 - \alpha$的上侧分位数$\chi_{1-\alpha}^{2}(n)$满足$P(\chi^{2} > \chi_{1-\alpha}^{2}(n))=1 - \alpha$。
由于$\chi^{2}(n)$分布非负且不对称，所以$\chi_{1-\alpha}^{2}(n) \neq -\chi_{\alpha}^{2}(n)$。因此，结论D是不正确的。