下列哪个选项中的函数不是所给微分方程的解A. y'' + y = 0, y = 3sin x - 4cos xB. y' = 1 + y^2, y = x^2 + CC. xy' = 2y, y = 5x^2D. y'' - (2)/(x)y' + (2)/(x^2)y = 0, y = C_1x + C_2x^2

本题考查的是判断给定函数是否为对应微分方程的解，解题思路是将每个选项中的函数代入其对应的微分方程，看等式是否成立。若成立，则该函数是微分方程的解；若不成立，则不是。

选项A

对于微分方程$y'' + y = 0$，函数$y = 3\sin x - 4\cos x$。

• 首先求$y$的一阶导数$y'$：
  根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，$(\cos x)^\prime = -\sin x$，可得$y^\prime=(3\sin x - 4\cos x)^\prime=3\cos x + 4\sin x$。
• 然后求$y$的二阶导数$y''$：
  对$y^\prime=3\cos x + 4\sin x$再次求导，$y^{\prime\prime}=(3\cos x + 4\sin x)^\prime=-3\sin x + 4\cos x$。
• 最后将$y$和$y''$代入微分方程$y'' + y$：
  $y'' + y=(-3\sin x + 4\cos x)+(3\sin x - 4\cos x)=0$，等式成立，所以$y = 3\sin x - 4\cos x$是$y'' + y = 0$的解。

选项B

对于微分方程$y' = 1 + y^2$，函数$y = x^2 + C$。

• 求$y$的一阶导数$y'$：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$y^\prime=(x^2 + C)^\prime=2x$。
• 将$y$和$y'$代入微分方程$y' = 1 + y^2$：
  右边$1 + y^2=1+(x^2 + C)^2=1+x^4 + 2Cx^2 + C^2$，显然$2x\neq1+x^4 + 2Cx^2 + C^2$，等式不成立，所以$y = x^2 + C$不是$y' = 1 + y^2$的解。

选项C

对于微分方程$xy' = 2y$，函数$y = 5x^2$。

• 求$y$的一阶导数$y'$：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$y^\prime=(5x^2)^\prime=10x$。
• 将$y$和$y'$代入微分方程$xy'$：
  $xy'=x\times10x = 10x^2$，而$2y=2\times5x^2 = 10x^2$，等式成立，所以$y = 5x^2$是$xy' = 2y$的解。

选项D

对于微分方程$y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^2}y = 0$，函数$y = C_1x + C_2x^2$。

• 求$y$的一阶导数$y'$：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$y^\prime=(C_1x + C_2x^2)^\prime=C_1 + 2C_2x$。
• 求$y$的二阶导数$y''$：
  对$y^\prime=C_1 + 2C_2x$再次求导，$y^{\prime\prime}=(C_1 + 2C_2x)^\prime=2C_2$。
• 将$y$、$y'$和$y''$代入微分方程$y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^2}y$：
  $\begin{align*}y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^2}y&=2C_2-\frac{2}{x}(C_1 + 2C_2x)+\frac{2}{x^2}(C_1x + C_2x^2)\\&=2C_2-\frac{2C_1}{x}-4C_2+\frac{2C_1}{x}+2C_2\\&=(2C_2 - 4C_2 + 2C_2)+(-\frac{2C_1}{x}+\frac{2C_1}{x})\\&=0\end{align*}$
  等式成立，所以$y = C_1x + C_2x^2$是$y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^2}y = 0$的解。