1.5 设函数f(x)=lim_(ntoinfty)(1+x)/(1+x^2n)，关于该函数的间断点，下列结论正确的是（）.(A)不存在间断点 (B)存在间断点x=1(C)存在间断点x=0 (D)存在间断点x=-1

为了确定函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}}$ 的间断点，我们需要分析当 $n$ 趋向于无穷大时，表达式的行为，对于不同的 $x$ 值。

让我们根据 $x$ 的值考虑不同的情况：

1. 情况 1: $|x| < 1$

   • 当 $n \to \infty$ 时，$x^{2n} \to 0$。
   • 因此，$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} = \frac{1+x}{1+0} = 1+x$。

2. 情况 2: $|x| > 1$

   • 当 $n \to \infty$ 时，$x^{2n} \to \infty$。
   • 为了简化表达式，我们可以将分子和分母都除以 $x^{2n}$：
     $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2n}} + \frac{x}{x^{2n}}}{\frac{1}{x^{2n}} + 1} = \frac{0 + 0}{0 + 1} = 0.$

3. 情况 3: $x = 1$

   • 将 $x = 1$ 代入表达式，我们得到：
     $f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+1}{1+1^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1.$

4. 情况 4: $x = -1$

   • 将 $x = -1$ 代入表达式，我们得到：
     $f(-1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+(-1)}{1+(-1)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{0}{1+1} = \frac{0}{2} = 0.$
     注意到 $(-1)^{2n} = 1$ 对于所有 $n$，因为 $2n$ 总是偶数。

从上述分析中，我们可以得出函数 $f(x)$ 的分段定义：
$f(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{如果 } |x| < 1, \\0 & \text{如果 } |x| > 1, \\1 & \text{如果 } x = 1, \\0 & \text{如果 } x = -1.\end{cases}$

现在，让我们检查函数的连续性：

• 对于 $|x| < 1$，$f(x) = 1 + x$ 是一个连续函数。
• 对于 $|x| > 1$，$f(x) = 0$ 是一个连续函数。
• 在 $x = 1$ 处，$f(1) = 1$，但当 $x$ 从左边接近 1 时，$f(x) \to 2$，当 $x$ 从右边接近 1 时，$f(x) \to 0$。因此，$f(x)$ 在 $x = 1$ 处是不连续的。
• 在 $x = -1$ 处，$f(-1) = 0$，但当 $x$ 从左边或右边接近 -1 时，$f(x) \to 0$。因此，$f(x)$ 在 $x = -1$ 处是连续的。

因此，函数 $f(x)$ 的唯一间断点在 $x = 1$。

正确答案是 $\boxed{B}$。