3.给出以下4个命题①若lim_(xto+infty)f(x)=a，则lim_(ntoinfty)f(n)=a.②若lim_(ntoinfty)f(n)=a，则lim_(xto+infty)f(x)=a.③若lim_(xto{x_{0)}}f(x)=a，且lim_(ntoinfty)x_(n)=x_(0)，则lim_(ntoinfty)f(x_(n)).④若lim_(ntoinfty)x_(n)=x_(0)，且lim_(ntoinfty)f(x_(n))=a，则lim_(xto{x_{0)}}f(x)=a.其中真命题个数为（）(A)0. (B)1. (C)2.
题目解答
答案
命题分析：
① 若 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$，则 $\lim_{n \to \infty} f(n) = a$。
- 正确：当 $x \to +\infty$ 时，函数值趋近于 $a$，对于整数序列 $n$ 亦然。
② 若 $\lim_{n \to \infty} f(n) = a$，则 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$。
- 错误：整数序列 $n$ 的极限不能直接推出实数 $x$ 的极限。例如，$f(x) = \sin(\pi x)$ 满足 $\lim_{n \to \infty} f(n) = 0$，但 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 不存在。
③ 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$，则 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = a$。
- 正确：函数在 $x_0$ 处的极限存在，且序列 $x_n$ 趋于 $x_0$，则 $f(x_n)$ 趋于 $a$。
④ 若 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$，且 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = a$，则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$。
- 错误：特定序列 $x_n$ 的极限不能直接推出函数在 $x_0$ 处的极限。例如，狄利克雷函数 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ 满足 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 1$（取 $x_n$ 为有理数），但 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在。
结论： 正确的命题为①和③，共2个。
答案：$\boxed{C}$
解析
本题主要考查函数极限与数列极限之间的关系，解题的关键在于理解函数极限和数列极限的定义，并通过具体例子来判断命题的真假。
命题①
若$\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$，根据函数极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$M$，当$x > M$时，有$\vert f(x) - a\vert < \varepsilon$。
因为数列$\{n\}$是正整数列，当$n > M$时，$n$也满足$n > M$，所以同样有$\vert f(n) - a\vert < \varepsilon$，这就说明$\lim_{n\to\infty}f(n)=a$，故命题①正确。
命题②
若$\lim_{n\to\infty}f(n)=a$，只能说明当$n$取正整数且趋于无穷大时，$f(n)$趋近于$a$，但不能保证对于任意实数$x$趋于正无穷时，$f(x)$都趋近于$a$。
例如，对于函数$f(x) = \sin(\pi x)$，当$n$为正整数时，$f(n)=\sin(n\pi)=0$，所以$\lim_{n\to\infty}f(n) = 0$。
然而，当$x$为实数趋于正无穷时，$\sin(\pi x)$的值在$[-1,1]$之间不断波动，$\lim_{x\to+\infty}f(x)$不存在，故命题②错误。
命题③
若$\lim_{x\to x_{0}}f(x)=a$，根据函数极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，当$0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta$时，有$\vert f(x) - a\vert < \varepsilon$。
又因为$\lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{0}$，对于上述的$\delta$，存在正整数$N$，当$n > N$时，有$0 < \vert x_{n} - x_{0}\vert < \delta$。
那么当$n > N$时，就有$\vert f(x_{n}) - a\vert < \varepsilon$，这表明$\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) = a$，故命题③正确。
命题④
若$\lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{0}$，且$\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=a$，只能说明对于特定的数列$\{x_{n}\}$，当$n$趋于无穷大时，$f(x_{n})$趋近于$a$，但不能保证对于任意趋近于$x_{0}$的实数$x$，都有$f(x)$趋近于$a$。
例如，狄利克雷函数$f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$，取$x_{n}$为有理数数列且$\lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{0}$，则$\lim_{n\to\infty}f(x_{n}) = 1$。
但是，对于任意实数$x$趋近于$x_{0}$，由于有理数和无理数在实数中是稠密的，$f(x)$的值会在$0$和$1$之间不断跳动，$\lim_{x\to x_{0}}f(x)$不存在，故命题④错误。