题目

一质量为m的自由质点，受力vec(F)=-kvec(r)，vec(r)为位矢，k为大于零的常数。求在直角坐标系中质点的运动微分方程。

一质量为$m$的自由质点，受力$\vec{F}=-k\vec{r}$，$\vec{r}$为位矢，$k$为大于零的常数。求在直角坐标系中质点的运动微分方程。

题目解答

答案

根据牛顿第二定律，$ \vec{F} = m \vec{a} = -k \vec{r} $。将 $ \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} $ 代入，可得： \[ m \frac{d^2 x}{dt^2} = -k x, \quad m \frac{d^2 y}{dt^2} = -k y, \quad m \frac{d^2 z}{dt^2} = -k z \] 或写成： \[ \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0, \quad \frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{k}{m} y = 0, \quad \frac{d^2 z}{dt^2} + \frac{k}{m} z = 0 \] 这些方程表明质点在 $ x $、$ y $、$ z $ 方向上的运动均为简谐振动。

解析

本题考查牛顿第二定律在直角坐标系中的应用，解题思路是先明确牛顿第二定律的矢量表达式，再将力和位矢用直角坐标系下的分量形式表示，最后通过对比分量得到质点在各坐标轴方向上的运动微分方程。

  1. 首先，根据牛顿第二定律，力 $\vec{F}$ 与加速度 $\vec{a}$ 的关系为 $\vec{F} = m\vec{a}$，已知 $\vec{F}=-k\vec{r}$，所以有 $m\vec{a}=-k\vec{r}$。
  2. 然后，在直角坐标系中，位矢 $\vec{r}$ 可以表示为 $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$，其中 $x$、$y$、$z$ 分别是位矢在 $x$、$y$、$z$ 轴上的分量，$\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$ 分别是 $x$、$y$、$z$ 轴正方向的单位矢量。
  3. 加速度 $\vec{a}$ 是位矢 $\vec{r}$ 对时间 $t$ 的二阶导数，即 $\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$，那么 $\vec{a}=\frac{d^2}{dt^2}(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})=\frac{d^2 x}{dt^2} \hat{i} + \frac{d^2 y}{dt^2} \hat{j} + \frac{d^2 z}{dt^2} \hat{k}$。
  4. 将 $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ 和 $\vec{a}=\frac{d^2 x}{dt^2} \hat{i} + \frac{d^2 y}{dt^2} \hat{j} + \frac{d^2 z}{dt^2} \hat{k}$ 代入 $m\vec{a}=-k\vec{r}$ 中，得到：
    • $m(\frac{d^2 x}{dt^2} \hat{i} + \frac{d^2 y}{dt^2} \hat{j} + \frac{d^2 z}{dt^2} \hat{k})=-k(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})$。
    • 根据矢量相等的性质，等式两边对应分量相等，所以可得：
      • 在 $x$ 方向上：$m\frac{d^2 x}{dt^2} = -k x$，移项可得 $\frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0$。
      • 在 $y$ 方向上：$m\frac{d^2 y}{dt^2} = -k y$，移项可得 $\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{k}{m} y = 0$。
      • 在 $z$ 方向上：$m\frac{d^2 z}{dt^2} = -k z$，移项可得 $\frac{d^2 z}{dt^2} + \frac{k}{m} z = 0$。