求指导本题解题过程，谢谢您！7. 齐次线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=0 2(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3)-4(x)_(4)=0 . 的解空间的维数是 ()-|||-(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4

本题考查齐次线性方程组解空间维数的计算，解题思路是先将方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵，确定自由变量的个数，自由变量的个数即为解空间的维数。

已知齐次线性方程组$\begin{cases}2x_{1}+x_{2}+3x_{3}-4x_{4}=0\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\end{cases}$，其系数矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1&3& - 4\\1&1&1&1\end{pmatrix}$。

1. 对系数矩阵$A$进行初等行变换：
   • 交换第一行和第二行，得到$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&1&3& - 4\end{pmatrix}$。
   • 第二行减去第一行的$2$倍，即$r_{2}-2r_{1}$，可得$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2 - 2\times1&1 - 2\times1&3 - 2\times1&-4 - 2\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-1&1&-6\end{pmatrix}$。
   • 第一行加上第二行，即$r_{1}+r_{2}$，得到$\begin{pmatrix}1+0&1+( - 1)&1 + 1&1+( - 6)\\0&-1&1&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2&-5\\0&-1&1&-6\end{pmatrix}$。
   • 第二行乘以$-1$，即$-r_{2}$，得到行最简形矩阵$\begin{pmatrix}1&0&2&-5\\0&1&-1&6\end{pmatrix}$。
2. 由行最简形矩阵可得原方程组的同解方程组为$\begin{cases}x_{1}=-2x_{3}+5x_{4}\\x_{2}=x_{3}-6x_{4}\end{cases}$，其中$x_{3},x_{4}$为自由变量。
3. 自由变量的个数为$2$，根据解空间维数的定义，解空间的维数等于自由变量的个数，所以该齐次线性方程组解空间的维数是$2$。