题目
设总体 X sim exp(4)，X_1, X_2, ldots, X_(16) 是来自总体的一个简单随机样本，bar(X) 为样本均值，D(bar(X)) = ____。
设总体 $X \sim \exp(4)$，$X_1, X_2, \ldots, X_{16}$ 是来自总体的一个简单随机样本，$\bar{X}$ 为样本均值，$D(\bar{X}) = \_\_\_\_$。
题目解答
答案
设总体 $X \sim \text{Exp}(4)$，即指数分布，其概率密度函数为 $f(x) = 4e^{-4x}$（$x > 0$）。对于指数分布，均值 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，方差 $D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$。这里 $\lambda = 4$，因此 $D(X) = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$。
样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} X_i$，根据方差的性质，有：
\[
D(\bar{X}) = D\left(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} X_i\right) = \frac{1}{16^2} \sum_{i=1}^{16} D(X_i) = \frac{1}{256} \times 16 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{256}
\]
因此，$D(\bar{X}) = \frac{1}{256}$。
答案：$\frac{1}{256}$
解析
本题考查指数分布的方差性质以及样本均值方差的计算。解题思路如下：
- 首先明确指数分布的方差公式：若总体$X\sim\exp(\lambda)$，则其方差$D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}$。
- 然后根据已知条件确定本题中指数分布的参数$\lambda$的值，进而求出总体$X$的方差$D(X)$。
- 最后利用样本均值方差的性质$D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}$（其中$n$为样本容量）计算样本均值$\bar{X}$的方差。
下面进行详细计算：
- 步骤一：求总体$X$的方差$D(X)$
已知总体$X\sim\exp(4)$，即$\lambda = 4$。
根据指数分布的方差公式$D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}$，可得：
$D(X)=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16}$ - 步骤二：求样本均值$\bar{X}$的方差$D(\bar{X})$
已知样本容量$n = 16$，根据样本均值方差的性质$D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}$，将$D(X)=\frac{1}{16}$，$n = 16$代入可得：
$D(\bar{X})=\frac{\frac{1}{16}}{16}=\frac{1}{16}\times\frac{1}{16}=\frac{1}{256}$