求向量组 alpha_1=(-1,1,1), alpha_2=(1,3,5), alpha_3=(6,2,6), alpha_4=(-2,4,5) 的秩和一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组表示出来

本题考查向量组的秩、极大无关组的求法以及向量用极大无关组线性表示的知识。解题思路是先将向量组构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为行最简形，根据行最简形确定矩阵的秩，进而得到向量组的秩，再找出极大无关组，最后根据行最简形写出其余向量用极大无关组的线性表示。

步骤一：构造矩阵

将向量组 $\alpha_1=(-1,1,1)$，$\alpha_2=(1,3,5)$，$\alpha_3=(6,2,6)$，$\alpha_4=(-2,4,5)$ 构成矩阵 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 6 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 6 & 5 \end{pmatrix}$。

步骤二：进行初等行变换化为行最简形

• 第一行乘以 $1$ 加到第二行，第一行乘以 $1$ 加到第三行，得到：
  $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 6 & -2 \\ 0 & 4 & 8 & 2 \\ 0 & 6 & 12 & 3 \end{pmatrix}$
• 第二行乘以 $\frac{1}{4}$，得到：
  $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 6 & 12 & 3 \end{pmatrix}$
• 第二行乘以 $-1$ 加到第一行，第二行乘以 $-6$ 加到第三行，得到：
  $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 & -\frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
• 第一行乘以 $-1$，得到行最简形：
  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

步骤三：确定向量组的秩

行最简形矩阵中非零行的行数为 $2$，所以矩阵 $A$ 的秩为 $2$，即向量组的秩为 $2$。

步骤四：找出极大无关组

行最简形矩阵中主元所在的列对应的原向量组中的向量构成极大无关组，主元在第一列和第二列，所以极大无关组为 $\alpha_1$，$\alpha_2$。

步骤五：写出其余向量用极大无关组的线性表示

设 $\alpha_3 = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2$，$\alpha_4 = y_1\alpha_1 + y_2\alpha_2$，根据行最简形可得：
$\begin{cases}x_1 - 4x_2 = 0 \\ x_2 + 2x_2 = 0\end{cases}$，解得 $x_1 = -4$，$x_2 = 2$，所以 $\alpha_3 = -4\alpha_1 + 2\alpha_2$。
$\begin{cases}y_1 + \frac{5}{2}y_2 = 0 \\ y_2 + \frac{1}{2}y_2 = 0\end{cases}$，解得 $y_1 = \frac{5}{2}$，$y_2 = \frac{1}{2}$，所以 $\alpha_4 = \frac{5}{2}\alpha_1 + \frac{1}{2}\alpha_2$。