题目
已知y=f（x）是由方程cos（xy）-lny+x=1确定，则 lim n→∞ n(f( 2 n )−1)=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
已知y=f（x）是由方程cos（xy）-lny+x=1确定，则
n(f(
)−1)=（ ）
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
| lim |
| n→∞ |
| 2 |
| n |
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
题目解答
答案
将x=0代入方程得y=f（0）=1，在方程两边求导，得
−sin(xy)(y+xy′)−
+1＝0，代入x=0，y=1，知y'（0）=f'（0）=1．
n(f(
)−1)＝2
＝2f′(0)＝2
故应该选：A．
| y′ |
| y |
| lim |
| n→∞ |
| 2 |
| n |
| lim |
| n→∞ |
f(
|
||
|
故应该选：A．
解析
步骤 1：确定f(0)的值
将x=0代入方程cos(xy) - lny + x = 1，得到cos(0) - lny + 0 = 1，即1 - lny = 1，从而得到lny = 0，因此y = 1。所以f(0) = 1。
步骤 2：求导数f'(x)
对原方程cos(xy) - lny + x = 1两边关于x求导，得到：
-sin(xy)(y + xy') - (1/y)y' + 1 = 0
将x=0，y=1代入上式，得到：
-sin(0)(1 + 0) - (1/1)y' + 1 = 0
即 -y' + 1 = 0，从而得到y' = 1。因此f'(0) = 1。
步骤 3：计算极限
根据洛必达法则，原极限可以转化为：
lim
n→∞
n(f(
2
n
)−1) = lim
n→∞
f(
2
n
)−f(0)
2
n
= lim
n→∞
f'(
2
n
) *
2
n
2
n
= 2f'(0) = 2 * 1 = 2
将x=0代入方程cos(xy) - lny + x = 1，得到cos(0) - lny + 0 = 1，即1 - lny = 1，从而得到lny = 0，因此y = 1。所以f(0) = 1。
步骤 2：求导数f'(x)
对原方程cos(xy) - lny + x = 1两边关于x求导，得到：
-sin(xy)(y + xy') - (1/y)y' + 1 = 0
将x=0，y=1代入上式，得到：
-sin(0)(1 + 0) - (1/1)y' + 1 = 0
即 -y' + 1 = 0，从而得到y' = 1。因此f'(0) = 1。
步骤 3：计算极限
根据洛必达法则，原极限可以转化为：
lim
n→∞
n(f(
2
n
)−1) = lim
n→∞
f(
2
n
)−f(0)
2
n
= lim
n→∞
f'(
2
n
) *
2
n
2
n
= 2f'(0) = 2 * 1 = 2