题型说明：计算下列各题，注意步骤的完整性！5.（8.0分）求函数y=ln(x+sqrt(1+x^2))的微分dy。

本题考查复合函数求导以及微分的计算。解题思路是先根据复合函数求导法则求出函数$y=\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$的导数$y'$，再根据微分的定义$dy = y' \, dx$求出函数的微分$dy$。

1. 求$y'$：
   设$u = x + \sqrt{1 + x^2}$，则$y = \ln u$。
   根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，先分别求$\frac{dy}{du}$和$\frac{du}{dx}$。
   • 对$y = \ln u$关于$u$求导，根据对数函数求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$。
   • 对$u = x + \sqrt{1 + x^2}$关于$x$求导，根据加法求导法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，分别求$x$和$\sqrt{1 + x^2}$的导数。
     • 对$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$(x)^\prime = 1$。
     • 对$\sqrt{1 + x^2}=(1 + x^2)^{\frac{1}{2}}$求导，设$t = 1 + x^2$，则$(1 + x^2)^{\frac{1}{2}}=t^{\frac{1}{2}}$。
       根据复合函数求导法则$\frac{d}{dx}(t^{\frac{1}{2}})=\frac{d}{dt}(t^{\frac{1}{2}})\cdot\frac{dt}{dx}$，先分别求$\frac{d}{dt}(t^{\frac{1}{2}})$和$\frac{dt}{dx}$。
       • 对$t^{\frac{1}{2}}$关于$t$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{d}{dt}(t^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}$。
       • 对$t = 1 + x^2$关于$x$求导，根据加法求导法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，可得$\frac{dt}{dx}=(1 + x^2)^\prime=(1)^\prime+(x^2)^\prime=0 + 2x = 2x$。
         所以$\frac{d}{dx}((1 + x^2)^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x=\frac{1}{2}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$。
         则$\frac{du}{dx}=(x + \sqrt{1 + x^2})^\prime=(x)^\prime+(\sqrt{1 + x^2})^\prime=1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$。
   • 所以$y^\prime=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}\cdot(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})=\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}\cdot(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})$。
     对$\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}\cdot(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})$进行化简：
     $\begin{align*}\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}\cdot(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})&=\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}\cdot\frac{\sqrt{1 + x^2}+x}{\sqrt{1 + x^2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\end{align*}$
2. 求$dy$：
   根据微分的定义$dy = y' \, dx$，将$y^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$代入可得$dy = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx$，也可表示为$dy = \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}}$。