17.（单选题，4.0分） 系统 {(d x)/(d t)=-2 x-x y^2 (d y)/(d t)=2 x^4 y.， 的零解是（）A. 稳定但非渐近稳定的B. 不稳定的C. 稳定的D. 渐近稳定的

本题考查常微分方程组零解的稳定性判断，解题思路是先求出系统的零解，再通过线性化方法分析零解附近的稳定性，最后结合非线性项判断零解的渐近稳定性。

1. 确定零解：
   对于给定的系统$\begin{cases}\frac{dx}{dt}=-2x - xy^{2}\\\frac{dy}{dt}=2x^{4}y\end{cases}$，当$x = 0$且$y = 0$时，$\frac{dx}{dt}=0$且$\frac{dy}{dt}=0$，所以$(0,0)$是该系统的零解。
2. 线性化系统：
   设$f(x,y)=-2x - xy^{2}$，$g(x,y)=2x^{4}y$。
   分别求$f(x,y)$和$g(x,y)$关于$x$和$y$的偏导数：
   • $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=-2 - y^{2}$，将$(0,0)$代入得$f_x(0,0)=-2$。
   • $f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=-2xy$，将$(0,0)$代入得$f_y(0,0)=0$。
   • $g_x=\frac{\partial g}{\partial x}=8x^{3}y$，将$(0,0)$代入得$g_x(0,0)=0$。
   • $g_y=\frac{\partial g}{\partial y}=2x^{4}$，将$(0,0)$代入得$g_y(0,0)=0$。
     则线性化系统的系数矩阵$A=\begin{pmatrix}f_x(0,0)&f_y(0,0)\\g_x(0,0)&g_y(0,0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0\\0&0\end{pmatrix}$。
3. 分析线性化系统的稳定性：
   系数矩阵$A$的特征方程为$\vert\lambda I - A\vert=\begin{vmatrix}\lambda + 2&0\\0&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda + 2)\lambda = 0$，
   解得特征值$\lambda_1=-2$，$\lambda_2 = 0$。
   由于特征值有一个为$0$，线性化系统不能确定零解的稳定性，需要进一步分析非线性项。
4. 判断零解的稳定性和渐近稳定性：
   考虑系统$\frac{dx}{dt}=-2x - xy^{2}$，当$y$很小时，$\frac{dx}{dt}\approx - 2x$，这表明$x$会随着时间衰减。
   对于$\frac{dy}{dt}=2x^{4}y$，当$x$很小时，$\frac{dy}{dt}\approx 0$，即$y$在零解附近变化缓慢。
   通过构造李雅普诺夫函数$V(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}$，求其沿系统轨线的导数：
   $\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{dy}{dt}=x(-2x - xy^{2})+y(2x^{4}y)=-2x^{2}-x^{2}y^{2}+2x^{4}y^{2}$。
   当$x$和$y$足够小时，$\frac{dV}{dt}\leq0$，所以零解是稳定的。
   又因为存在非零解使得$\frac{dV}{dt}=0$（例如$y = 0$时，$\frac{dV}{dt}=-2x^{2}\leq0$，当$x = 0$时取等号），所以零解不是渐近稳定的。