题目
设8/5在8/5二阶可导,且8/5令:8/5证明:至少8/5使得8/5
设
在
二阶可导,且
令:
证明:至少
使得
题目解答
答案
解：根据题意，我们已知函数 在区间上二阶可导，且
。我们要证明存在
，使得 ，其中
首先，
所以根据罗尔定理，如果函数满足以下条件：在闭区间
上连续，在开区间
内可导，
，则至少存在一个
，使得
因此，由于
,在
二阶可导
存在
，使得
我们计算
然后，计算
根据罗尔定理，
,且在
可导
存在
，使得
因此，我们证明了至少存在一个
，使得 。
解析
步骤 1：定义函数$F(x)$
根据题目条件，我们定义$F(x)=xf(x)$，其中$f(x)$在$(0,2]$上二阶可导，且$f(0)=0$，$2f(2)=f(1)$。
步骤 2：计算$F(1)$和$F(2)$
根据定义，$F(1)=1\cdot f(1)=f(1)$，$F(2)=2\cdot f(2)=f(1)$。
步骤 3：应用罗尔定理
由于$F(1)=F(2)$，且$F(x)$在$[1,2]$上二阶可导，根据罗尔定理，存在$\alpha \in (1,2)$，使得$F'(\alpha )=$。
步骤 4：计算$F'(x)$
$F'(x)=(xf(x))'=f(x)+xf'(x)$。
步骤 5：计算$F'(0)$
$F'(0)=f(0)+0\cdot f'(0)=0$。
步骤 6：再次应用罗尔定理
由于$F'(0)=F'(\alpha )$，且$F'(x)$在$[0,\alpha ]$上可导，根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,\alpha )\subset (0,1)$，使得$F''(\xi )=$。
根据题目条件，我们定义$F(x)=xf(x)$，其中$f(x)$在$(0,2]$上二阶可导，且$f(0)=0$，$2f(2)=f(1)$。
步骤 2：计算$F(1)$和$F(2)$
根据定义，$F(1)=1\cdot f(1)=f(1)$，$F(2)=2\cdot f(2)=f(1)$。
步骤 3：应用罗尔定理
由于$F(1)=F(2)$，且$F(x)$在$[1,2]$上二阶可导，根据罗尔定理，存在$\alpha \in (1,2)$，使得$F'(\alpha )=$。
步骤 4：计算$F'(x)$
$F'(x)=(xf(x))'=f(x)+xf'(x)$。
步骤 5：计算$F'(0)$
$F'(0)=f(0)+0\cdot f'(0)=0$。
步骤 6：再次应用罗尔定理
由于$F'(0)=F'(\alpha )$，且$F'(x)$在$[0,\alpha ]$上可导，根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,\alpha )\subset (0,1)$，使得$F''(\xi )=$。