题目
求函数f(x，y，z)=xy+yz+zx在点P0(1，1，-2)沿方向l=(2，1，2)的方向导数．
求函数f(x，y，z)=xy+yz+zx在点P0(1，1，-2)沿方向l=(2，1，2)的方向导数．
题目解答
答案
把点P0的坐标代入以上三式，得gradf(1，1，-2)=(-1，-1，2)，
解析
步骤 1：计算函数f(x，y，z)的偏导数
计算函数f(x，y，z)=xy+yz+zx的偏导数，得到$\dfrac {\partial f}{\partial x}=y+z$，$\dfrac {\partial f}{\partial y}=z+x$，$\dfrac {\partial f}{\partial z}=x+y$。
步骤 2：计算梯度gradf(1，1，-2)
将点P_0(1，1，-2)的坐标代入偏导数，得到gradf(1，1，-2)=(-1，-1，2)。
步骤 3：计算方向l的单位向量
计算方向l=(2，1，2)的单位向量，得到$l=(\dfrac {2}{3},\dfrac {1}{3},\dfrac {2}{3})$。
步骤 4：计算方向导数
计算函数f(x，y，z)在点P_0(1，1，-2)沿方向l=(2，1，2)的方向导数，得到$\dfrac {\partial f}{\partial t}|$ ${(-1)}^{2}\times (-2)\times (-2)=(-1)\times \dfrac {1}{3}+2\times \dfrac {2}{3}=\dfrac {1}{3}$。
计算函数f(x，y，z)=xy+yz+zx的偏导数，得到$\dfrac {\partial f}{\partial x}=y+z$，$\dfrac {\partial f}{\partial y}=z+x$，$\dfrac {\partial f}{\partial z}=x+y$。
步骤 2：计算梯度gradf(1，1，-2)
将点P_0(1，1，-2)的坐标代入偏导数，得到gradf(1，1，-2)=(-1，-1，2)。
步骤 3：计算方向l的单位向量
计算方向l=(2，1，2)的单位向量，得到$l=(\dfrac {2}{3},\dfrac {1}{3},\dfrac {2}{3})$。
步骤 4：计算方向导数
计算函数f(x，y，z)在点P_0(1，1，-2)沿方向l=(2，1，2)的方向导数，得到$\dfrac {\partial f}{\partial t}|$ ${(-1)}^{2}\times (-2)\times (-2)=(-1)\times \dfrac {1}{3}+2\times \dfrac {2}{3}=\dfrac {1}{3}$。