题目

已知向量 overrightarrow(a)=2vec(i)+vec(j)+3vec(k) ， overrightarrow(b)=vec(i)-3vec(j)+2vec(k) ， overrightarrow(c)=vec(i)-2vec(k) ，计算 2overrightarrow(a)-3overrightarrow(c) 、 overrightarrow(a)cdotoverrightarrow(b) 、 overrightarrow(b)timesoverrightarrow(c) 、 (overrightarrow(c)timesoverrightarrow(a))cdotoverrightarrow(b) 。

已知向量 $\overrightarrow{a}=2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$ ， $\overrightarrow{b}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}$ ， $\overrightarrow{c}=\vec{i}-2\vec{k}$ ，计算 $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}$ 、 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ 、 $\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$ 、 $(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}$ 。

题目解答

答案

  1. $2\vec{a} - 3\vec{c} = 2(2, 1, 3) - 3(1, 0, -2) = (4, 2, 6) - (3, 0, -6) = (1, 2, 12)$
    答案： $\vec{i} + 2\vec{j} + 12\vec{k}$ 或 $(1, 2, 12)$

  2. $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2, 1, 3) \cdot (1, -3, 2) = 2 \times 1 + 1 \times (-3) + 3 \times 2 = 5$
    答案： $5$

  3. $\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (6, 4, 3)$
    答案： $6\vec{i} + 4\vec{j} + 3\vec{k}$ 或 $(6, 4, 3)$

  4. $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} \cdot (1, -3, 2) = (2, -7, 1) \cdot (1, -3, 2) = 25$
    答案： $25$

$\boxed{\begin{array}{ccccc}2\vec{a} - 3\vec{c} &=& \vec{i} + 2\vec{j} + 12\vec{k} & \text{或} & (1, 2, 12) \\\vec{a} \cdot \vec{b} &=& 5 \\\vec{b} \times \vec{c} &=& 6\vec{i} + 4\vec{j} + 3\vec{k} & \text{或} & (6, 4, 3) \$\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} &=& 25 \\\end{array}}$

解析

本题主要考查向量的数乘、加减、点积、叉积以及混合积的运算。解题思路如下：

  1. 计算$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}$：
    • 首先，根据向量数乘的运算法则，若$\overrightarrow{m}=(x,y,z)$，则$k\overrightarrow{m}=(kx,ky,kz)$，分别计算$2\overrightarrow{a}$和$3\overrightarrow{c}$。
    • 已知$\overrightarrow{a}=2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}=(2,1,3)$，那么$2\overrightarrow{a}=2\times(2,1,3)=(2\times2,2\times1,2\times3)=(4,2,6)$。
    • 已知$\overrightarrow{c}=\vec{i}-2\vec{k}=(1,0,-2)$，那么$3\overrightarrow{c}=3\times(1,0,-2)=(3\times1,3\times0,3\times(-2))=(3,0,-6)$。
    • 然后，根据向量减法的运算法则，若$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1,z_1)$，$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}=(x_1 - x_2,y_1 - y_2,z_1 - z_2)$，计算$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}$。
    • $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{c}=(4,2,6)-(3,0,-6)=(4 - 3,2 - 0,6-(-6))=(1,2,12)$，写成向量形式为$\vec{i} + 2\vec{j} + 12\vec{k}$。
  2. 计算$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$：
    • 根据向量点积的运算法则，若$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1,z_1)$，$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2$。
    • 已知$\overrightarrow{a}=(2,1,3)$，$\overrightarrow{b}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}=(1,-3,2)$，所以$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times1 + 1\times(-3)+3\times2=2 - 3 + 6 = 5$。
  3. 计算$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$：
    • 根据向量叉积的运算法则，若$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1,z_1)$，$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{m}\times\overrightarrow{n}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}=\vec{i}(y_1z_2 - y_2z_1)-\vec{j}(x_1z_2 - x_2z_1)+\vec{k}(x_1y_2 - x_2y_1)$。
    • 已知$\overrightarrow{b}=(1,-3,2)$，$\overrightarrow{c}=(1,0,-2)$，则$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-3&2\\1&0&-2\end{vmatrix}$
    • $=\vec{i}[(-3)\times(-2)-0\times2]-\vec{j}[1\times(-2)-1\times2]+\vec{k}[1\times0 - 1\times(-3)]$
    • $=\vec{i}(6 - 0)-\vec{j}(-2 - 2)+\vec{k}(0 + 3)=6\vec{i}+4\vec{j}+3\vec{k}$，写成坐标形式为$(6,4,3)$。
  4. 计算$(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}$：
    • 先计算$\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}$，已知$\overrightarrow{c}=(1,0,-2)$，$\overrightarrow{a}=(2,1,3)$，则$\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&-2\\2&1&3\end{vmatrix}$
    • $=\vec{i}(0\times3 - 1\times(-2))-\vec{j}(1\times3 - 2\times(-2))+\vec{k}(1\times1 - 2\times0)$
    • $=\vec{i}(0 + 2)-\vec{j}(3 + 4)+\vec{k}(1 - 0)=2\vec{i}-7\vec{j}+\vec{k}=(2,-7,1)$。
    • 再计算$(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}$，已知$\overrightarrow{b}=(1,-3,2)$，根据向量点积运算法则可得$(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=(2,-7,1)\cdot(1,-3,2)=2\times1+(-7)\times(-3)+1\times2=2 + 21+2 = 25$。