15、填空 已知函数f(x)=asinx+(1)/(3)sin3x在点x=(pi)/(3)处取 得极值，则常数a=_____.

本题考查函数极值的相关知识。解题的关键思路是利用函数在某点取得极值的必要条件，即该点处的一阶导数为零，先求出常数 $a$ 的值，再通过二阶导数判断该点是极大值点还是极小值点（本题虽不要求判断，但可作为验证）。

1. 首先求函数 $f(x)=a\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x$ 的一阶导数：
   • 根据求导公式 $(\sin x)^\prime=\cos x$ 以及复合函数求导法则 $(\sin u)^\prime=\cos u\cdot u^\prime$，对 $f(x)$ 求导可得 $f^\prime(x)=(a\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x)^\prime$。
   • 由求导的加法法则 $(u + v)^\prime=u^\prime + v^\prime$，则 $f^\prime(x)=(a\sin x)^\prime+(\frac{1}{3}\sin 3x)^\prime$。
   • 对于 $(a\sin x)^\prime$，因为 $a$ 为常数，根据常数与函数乘积的求导法则 $(cf(x))^\prime = cf^\prime(x)$，可得 $(a\sin x)^\prime=a(\sin x)^\prime=a\cos x$。
   • 对于 $(\frac{1}{3}\sin 3x)^\prime$，令 $u = 3x$，则 $(\frac{1}{3}\sin 3x)^\prime=\frac{1}{3}(\sin u)^\prime\cdot u^\prime=\frac{1}{3}\cos u\cdot3=\cos 3x$。
   • 所以 $f^\prime(x)=a\cos x+\cos 3x$。
2. 然后根据函数在 $x = \frac{\pi}{3}$ 处取得极值，那么 $f^\prime(\frac{\pi}{3}) = 0$：
   • 将 $x=\frac{\pi}{3}$ 代入 $f^\prime(x)$ 中，得到 $f^\prime(\frac{\pi}{3})=a\cos\frac{\pi}{3}+\cos(3\times\frac{\pi}{3})$。
   • 根据特殊三角函数值，$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\cos\pi=-1$，则 $f^\prime(\frac{\pi}{3})=a\times\frac{1}{2}+(-1)=\frac{a}{2}-1$。
   • 令 $\frac{a}{2}-1 = 0$，解方程：
     • 方程两边同时加 $1$ 可得 $\frac{a}{2}=1$。
     • 方程两边同时乘以 $2$，解得 $a = 2$。
3. 最后求二阶导数验证（本题不要求，但可加深理解）：
   • 对 $f^\prime(x)=a\cos x+\cos 3x$ 求导得二阶导数 $f^{\prime\prime}(x)=(a\cos x+\cos 3x)^\prime$。
   • 同样根据求导的加法法则，$f^{\prime\prime}(x)=(a\cos x)^\prime+(\cos 3x)^\prime$。
   • 对于 $(a\cos x)^\prime$，$(a\cos x)^\prime=a(\cos x)^\prime=-a\sin x$。
   • 对于 $(\cos 3x)^\prime$，令 $u = 3x$，则 $(\cos 3x)^\prime=(\cos u)^\prime\cdot u^\prime=-\sin u\cdot3=-3\sin 3x$。
   • 所以 $f^{\prime\prime}(x)=-a\sin x - 3\sin 3x$。
   • 将 $a = 2$，$x=\frac{\pi}{3}$ 代入 $f^{\prime\prime}(x)$ 中，$f^{\prime\prime}(\frac{\pi}{3})=-2\sin\frac{\pi}{3}-3\sin(3\times\frac{\pi}{3})$。
   • 根据特殊三角函数值，$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\pi = 0$，则 $f^{\prime\prime}(\frac{\pi}{3})=-2\times\frac{\sqrt{3}}{2}-3\times0=-\sqrt{3}<0$，说明函数在 $x = \frac{\pi}{3}$ 处取得极大值。