题目

20.填空题（5分）设函数f(x)=}(1)/(x^3)int_(0)^3xsin t^2dt,xneq0a,x=0在x=0处连续，则a=underline(输入答案).

20.填空题（5分） 设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^{3}}\int_{0}^{3x}\sin t^{2}dt,x\neq0\\a,x=0\end{cases}$在x=0处连续， 则a=$\underline{输入答案}$.

题目解答

答案

为了使函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续，需满足 $ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $。
当 $ x \neq 0 $ 时，
$f(x) = \frac{1}{x^3} \int_{0}^{3x} \sin t^2 \, dt.$
应用洛必达法则，
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{3x} \sin t^2 \, dt}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin(9x^2)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(9x^2)}{x^2}.$
由等价无穷小代换 $ \sin(9x^2) \sim 9x^2 $（当 $ x \to 0 $ 时），
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(9x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{9x^2}{x^2} = 9.$
因此，$ \lim_{x \to 0} f(x) = 9 $，为使 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续，应有 $ f(0) = a = 9 $。

答案： $\boxed{9}$

解析

本题考查函数在某点连续的定义以及洛必达法则和等价无穷小代换的应用。解题思路如下：

  1. 首先明确函数在某点连续的定义：若函数$f(x)$在$x = x_0$处连续，则$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。对于本题，要使函数$f(x)$在$x = 0$处连续，就需要满足$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，已知$f(0)=a$，所以关键是求出$\lim_{x \to 0} f(x)$。
  2. 当$x \neq 0$时，$f(x) = \frac{1}{x^3} \int_{0}^{3x} \sin t^2 \, dt$，求$\lim_{x \to 0} f(x)$即求$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{3x} \sin t^2 \, dt}{x^3}$。此时发现该极限为$\frac{0}{0}$型（当$x \to 0$时，$\int_{0}^{3x} \sin t^2 \, dt \to 0$，$x^3 \to 0$），可以使用洛必达法则。
  3. 根据洛必达法则，对于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的极限$\lim_{x \to x_0} \frac{F(x)}{G(x)}$，有$\lim_{x \to x_0} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{F^\prime(x)}{G^\prime(x)}$。
    • 对分子$F(x)=\int_{0}^{3x} \sin t^2 \, dt$求导，根据变上限积分求导公式$(\int_{a}^{\varphi(x)} f(t)dt)^\prime=f(\varphi(x))\cdot\varphi^\prime(x)$，这里$a = 0$，$\varphi(x)=3x$，$f(t)=\sin t^2$，所以$F^\prime(x)=\sin(3x)^2\cdot(3x)^\prime = 3\sin(9x^2)$。
    • 对分母$G(x)=x^3$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$G^\prime(x)=3x^2$。
    • 则$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{3x} \sin t^2 \, dt}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin(9x^2)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(9x^2)}{x^2}$。
  4. 当$x \to 0$时，$9x^2 \to 0$，根据等价无穷小代换，当$u \to 0$时，$\sin u \sim u$，所以当$x \to 0$时，$\sin(9x^2) \sim 9x^2$。
    • 则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(9x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{9x^2}{x^2}$。
    • 对$\lim_{x \to 0} \frac{9x^2}{x^2}$进行化简，约去$x^2$（因为$x \to 0$但$x \neq 0$，所以可以约去），得到$\lim_{x \to 0} 9 = 9$。
  5. 因为$\lim_{x \to 0} f(x) = 9$，且函数$f(x)$在$x = 0$处连续，所以$f(0)=a = 9$。