y' = 2y 满足 y|_(x=0) = 2 的特解是().A. y = 2e^xB. y = e^2x + 1C. y = 2e^2xD. y = 3e^x - 1

本题考查一阶常微分方程的求解以及特解的确定。解题思路是先对给定的一阶常微分方程进行分离变量，然后两边积分求出通解，最后将初始条件代入通解中，确定出特解。

步骤一：分离变量

已知一阶常微分方程$y' = 2y$，可将其变形为$\frac{dy}{y}=2dx$。这里是根据导数的定义$y'=\frac{dy}{dx}$，将方程两边同时除以$y$（$y\neq0$）并乘以$dx$，实现变量的分离。

步骤二：两边积分

对分离变量后的方程$\frac{dy}{y}=2dx$两边分别积分：
$\int\frac{1}{y}dy=\int2dx$
根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C_1$和$\int kdx=kx + C_2$（$k$为常数），可得：
$\ln|y| = 2x + C$（$C$为积分常数）

步骤三：求解通解

为了得到$y$关于$x$的表达式，对$\ln|y| = 2x + C$两边取指数，可得：
$|y| = e^{2x + C}=e^C\cdot e^{2x}$
令$A = \pm e^C$（$A\neq0$），则$y = Ae^{2x}$。当$A = 0$时，$y = 0$也是原方程的解，所以原方程的通解为$y = Ae^{2x}$（$A$为任意常数）。

步骤四：确定特解

已知初始条件$y|_{x = 0} = 2$，将$x = 0$，$y = 2$代入通解$y = Ae^{2x}$中，可得：
$2 = A\cdot e^{2\times0}$
因为$e^0 = 1$，所以$2 = A$。
将$A = 2$代入通解$y = Ae^{2x}$中，得到特解为$y = 2e^{2x}$。