10、微分方程xdy+2ydx=0满足y|_(x=2)=1的特解为____.

本题考察可分离变量的微分方程求解，关键步骤为分离变量、积分求解通解，再代入初始条件确定特解。

步骤1：分离变量

原方程为 $xdy + 2ydx = 0$，移项得 $xdy = -2ydx$，两边同除以 $xy$（$x\neq0,y\neq0$），分离变量为：
$\frac{dy}{y} = -\frac{2}{x}dx$

步骤2：积分求通解

对等式两边积分：
$\int \frac{1}{y}dy = \int -\frac{2}{x}dx$
左边积分得 $\ln|y|$，右边积分得 $-2\ln|x| + C_1$（$C_1$为常数），化简：
$\ln|y| = \ln\left|x^{-2}\right| + C_1 \implies |y| = e^{C_1} \cdot \frac{1}{x^2}$
令 $C = \pm e^{C_1}$（$C$为非零常数），则通解为：
$y = \frac{C}{x^2}$

步骤3：代入初始条件求特解

由 $y|_{x=2}=1$，代入通解得：
$1 = \frac{C}{2^2} \implies C = 4$
因此，特解为：
$y = \frac{4}{x^2}$