题目

设 y=y(x) 是由参数方程及函数 y=y(x) 的驻点,并讨论驻-|||-点是否为函数 y=y(x) 的极值点;-|||-(2)求 d^2y/ds 并讨论曲线 _{1)=y(x) 有无拐点.-|||-解:(1) dfrac (dy)(dx)= (1),令 dfrac (dy)(dx)=0 得,-|||-() 驻点 x= (3 )·(x-1))在 t= (4)` t=-|||-两侧,-|||-() ,故驻点 (6 y=y(x)-|||-函数 -|||-点。-|||-(2) dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}=dfrac (dt)(dt)cdot dfrac (1)(dfrac {dx)(dt)}= (( ),因为 dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}=-|||-(8),所以曲线 https:/img.cdnjtzy.com/zyb_c4f7c2e7961b1af08cc3a4d4a8d75f1b.jpg ) 拐点.-|||-y=y(x)-|||-(上UND第24UND)

题目解答

本题主要考查由参数方程确定的函数的导数、驻点、极值点以及二阶导数和拐点的相关知识。解题的关键在于利用参数方程求导法则求出一阶导数和二阶导数，再根据驻点、极值点和拐点的定义进行判断。

（1）求$dy$及函数$y = y(x)$的驻点，并讨论驻点是否为函数$y = y(x)$的极值点

求$\frac{dy}{dx}$：
已知$x = f^\prime(t)$，对$x$关于$t$求导，根据求导公式$(f^\prime(t))^\prime=f^{\prime\prime}(t)$，可得$\frac{dx}{dt}=f^{\prime\prime}(t)$。
又已知$y = tf^\prime(t) - f(t)$，对$y$关于$t$求导，根据乘积求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得：
$\frac{dy}{dt}=(tf^\prime(t))^\prime - f^\prime(t)=f^\prime(t)+tf^{\prime\prime}(t)-f^\prime(t)=tf^{\prime\prime}(t)$
根据参数方程求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，将$\frac{dy}{dt}=tf^{\prime\prime}(t)$和$\frac{dx}{dt}=f^{\prime\prime}(t)$代入可得：
$\frac{dy}{dx}=\frac{tf^{\prime\prime}(t)}{f^{\prime\prime}(t)} = t$
求$dy$：
由$\frac{dy}{dx}=t$，可得$dy = tdx$。
求驻点：
令$\frac{dy}{dx}=0$，即$t = 0$。
当$t = 0$时，$x = f^\prime(0)$，所以函数$y = y(x)$的驻点为$x = f^\prime(0)$。
判断驻点是否为极值点：
因为$f^{\prime\prime}(t)\gt{}0$，所以$\frac{dy}{dx}=t$在$t = 0$两侧异号。
当$t\lt{}0$时，$\frac{dy}{dx}\lt{}0$，函数$y = y(x)$单调递减；当$t\gt{}0$时，$\frac{dy}{dx}\gt{}0$，函数$y = y(x)$单调递增。
根据极值点的定义，函数在驻点两侧单调性发生改变，所以$x = f^\prime(0)$是函数$y = y(x)$的极小值点。

（2）求$\frac{d^2y}{dx^2}$，并讨论曲线$y = y(x)$有无拐点

求$\frac{d^2y}{dx^2}$：
根据二阶导数的定义$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$，因为$\frac{dy}{dx}=t$，所以$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dt}{dx}$。
又因为$\frac{dx}{dt}=f^{\prime\prime}(t)$，根据反函数求导法则$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}$，可得$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{f^{\prime\prime}(t)}$。
判断曲线有无拐点：
因为$f^{\prime\prime}(t)\gt{}0$，所以$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{f^{\prime\prime}(t)}\gt{}0$恒成立，即曲线$y = y(x)$的二阶导数恒大于$0$，曲线是凹的，所以曲线$y = y(x)$没有拐点。