题目

15.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q²(元)，单位销售价格为p=14-0.01q(元/件)，问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少?

15.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q²(元)，单位销售价格为p=14-0.01q(元/件)，问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少?

题目解答

答案

  1. 计算收入函数：
    $ R(q) = q \cdot p = q(14 - 0.01q) = 14q - 0.01q^2 $

  2. 计算利润函数：
    $ L(q) = R(q) - C(q) = (14q - 0.01q^2) - (20 + 4q + 0.01q^2) = 10q - 0.02q^2 - 20 $

  3. 求导数并解方程：
    $ L'(q) = 10 - 0.04q $，令 $ L'(q) = 0 $ 得 $ q = 250 $

  4. 确定最大利润：
    代入 $ q = 250 $，得 $ L(250) = 10 \times 250 - 0.02 \times 250^2 - 20 = 1230 $

答案：
产量为250件时，利润达到最大，最大利润为1230元。

解析

本题考查利用导数求函数的最值，解题的关键在于先根据已知条件求出利润函数，再通过求导找到函数的极值点，进而确定最大值。

  1. 计算收入函数 $R(q)$：
    收入等于产量乘以单位销售价格，已知单位销售价格为 $p = 14 - 0.01q$，产量为 $q$，则收入函数为：
    $R(q)=q\cdot p = q(14 - 0.01q)=14q - 0.01q^2$
  2. 计算利润函数 $L(q)$：
    利润等于收入减去成本，已知总成本函数为 $C(q)=20 + 4q + 0.01q^2$，收入函数为 $R(q)=14q - 0.01q^2$，则利润函数为：
    $L(q)=R(q)-C(q)=(14q - 0.01q^2)-(20 + 4q + 0.01q^2)$
    去括号得：$L(q)=14q - 0.01q^2 - 20 - 4q - 0.01q^2$
    合并同类项得：$L(q)=10q - 0.02q^2 - 20$
  3. 求利润函数的导数并解方程 $L^\prime(q)=0$：
    对利润函数 $L(q)=10q - 0.02q^2 - 20$ 求导，根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为 $0$，可得：
    $L^\prime(q)=(10q - 0.02q^2 - 20)^\prime=(10q)^\prime-(0.02q^2)^\prime-(20)^\prime=10 - 0.04q$
    令 $L^\prime(q)=0$，即 $10 - 0.04q = 0$，移项可得 $0.04q = 10$，两边同时除以 $0.04$，解得 $q = 250$。
  4. 确定最大利润：
    将 $q = 250$ 代入利润函数 $L(q)=10q - 0.02q^2 - 20$ 中，可得：
    $L(250)=10\times250 - 0.02\times250^2 - 20$
    先计算指数运算：$250^2 = 62500$
    再计算乘法运算：$10\times250 = 2500$，$0.02\times62500 = 1250$
    最后计算加减法运算：$L(250)=2500 - 1250 - 20 = 1230$