题目

2.已知930℃时碳在y铁中的扩散系数 =1.61times (10)^-12(m)^2/s 在这一温度下对碳的质量分数-|||-为0.1%的碳钢渗碳,若表面碳质量分数在1.0%,规定碳质量分数在0.3%处的深度为渗层深度。-|||-(1)求渗层深度x与渗碳时间的关系式;-|||-(2)计算930℃渗10h、20h后的渗层深度x10,X20:-|||-(3) dfrac ({x)_(20)}({x)_(10)} 说明了什么问题?

题目解答

本题主要考察菲克第二定律在固体扩散问题中的应用，通过已知的扩散系数、表面浓度、初始浓度和规定浓度，求解渗层深度与渗碳时间的关系式，并计算不同时间下的渗层深度，最后分析渗层深度与时间的关系。

（1）求渗层深度$x$与渗碳时间的关系式

首先明确已知条件：表面碳质量分数$C_s = 1.0\%$，规定碳质量分数$C_x = 0.3\%$，初始碳质量分数$C_0 = 0.1\%$，扩散系数$D = 1.61\times 10^{-12}m^2/s$。
根据菲克第二定律的解$\frac{C_s - C_x}{C_s - C_0}=erf(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})$，将已知条件代入可得：
$\frac{1.0\% - 0.3\%}{1.0\% - 0.1\%}=erf(\frac{x}{2\sqrt{1.61\times 10^{-12}t}})$
即$\frac{7}{9}=erf(\frac{x}{2\sqrt{1.61\times 10^{-12}t}})$。
对$\frac{x}{2\sqrt{1.61\times 10^{-12}t}}$进行化简：
$\frac{x}{2\sqrt{1.61\times 10^{-12}t}}=\frac{10^6x}{2\sqrt{1.61}\times 10^{-6}\sqrt{t}}\approx\frac{10^6x}{2.54\sqrt{t}}$
所以$\frac{7}{9}=erf(\frac{10^6x}{2.54\sqrt{t}})$。
通过查误差函数表可知，当$erf(z)=0.78$时，$z = 0.86$，则$\frac{10^6x}{2.54\sqrt{t}} = 0.86$。
求解$x$：
$x=\frac{0.86\times 2.54\sqrt{t}}{10^6}=\frac{2.18\sqrt{t}}{10^6}$

（2）计算$930^{\circ}C$渗$10h$、$20h$后的渗层深度$x_{10}$，$x_{20}$

当$t = 10h$时，因为$1h = 3600s$，所以$t = 10\times 3600s$，将其代入$x=\frac{2.18\sqrt{t}}{10^6}$可得：
$x_{10}=\frac{2.18\sqrt{10\times 3600}}{10^6}$
$=\frac{2.18\times\sqrt{36000}}{10^6}$
$=\frac{2.18\times 189.74}{10^6}$
$\approx 4.14\times 10^{-4}m$
当$t = 20h$时，$t = 20\times 3600s$，代入$x=\frac{2.18\sqrt{t}}{10^6}$可得：
$x_{20}=\frac{2.18\sqrt{20\times 3600}}{10^6}$
$=\frac{2.18\times\sqrt{72000}}{10^6}$
$=\frac{2.18\times 268.33}{10^6}$
$\approx 5.85\times 10^{-4}m$

（3）$\frac{x_{20}}{x_{10}}$说明了什么问题

计算$\frac{x_{20}}{x_{10}}$的值：
$\frac{x_{20}}{x_{10}}=\frac{5.85\times 10^{-4}}{4.14\times 10^{-4}} = 1.4$
由$x=\frac{2.18\sqrt{t}}{10^6}$可得$x^2=\frac{2.18^2t}{10^{12}}$，即扩散层深度的平方与扩散时间成正比。
设原来扩散时间为$t_1$，扩散层深度为$x_1$，后来扩散层深度变为$2x_1$，扩散时间为$t_2$，根据$x^2\propto t$可得$(2x_1)^2\propto t_2$，$x_1^2\propto t_1$，则$\frac{t_2}{t_1}=\frac{(2x_1)^2}{x_1^2}=4$，即要使扩散层深度增加一倍则扩散时间要增加三倍。