题目
判断题 方程 x-sinx=1 在区间 (0, π) 内至少有一个根(4分)√ 正确× 错误
判断题 方程 x-sinx=1 在区间 (0, π) 内至少有一个根
(4分)
√ 正确
× 错误
题目解答
答案
定义函数 $f(x) = x - \sin x - 1$，则 $f'(x) = 1 - \cos x > 0$（在 $(0, \pi)$ 内），说明 $f(x)$ 单调递增。
计算端点值：
- $f(0) = -1 < 0$，
- $f(\pi) = \pi - 1 > 0$。
由零点定理（或介值定理），存在 $c \in (0, \pi)$，使 $f(c) = 0$，即 $c - \sin c = 1$。
因此，方程 $x - \sin x = 1$ 在区间 $(0, \pi)$ 内至少有一个根。
答案：$\boxed{\text{正确}}$
解析
本题考查零点定理（或介值定理）以及函数单调性的判断。解题思路是先构造一个与给定方程相关的函数，通过求导判断该函数在给定区间内的单调性，再计算函数在区间端点处的值，最后利用零点定理（或介值定理）来确定方程在该区间内是否至少有一个根。
- 构造函数：
对于方程 $x - \sin x = 1$，我们定义函数 $f(x)=x - \sin x - 1$。 - 判断函数单调性：
对函数 $f(x)$ 求导，根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得 $f^\prime(x)=(x - \sin x - 1)^\prime=1-\cos x$。
因为在区间 $(0,\pi)$ 内，$\cos x$ 的取值范围是 $(-1,1)$，所以 $1-\cos x\gt{}0$，这表明函数 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 上单调递增。 - 计算端点值：
- 当 $x = 0$ 时，$f(0)=0-\sin 0 - 1=0 - 0 - 1=-1\lt{}0$。
- 当 $x=\pi$ 时，$f(\pi)=\pi-\sin\pi - 1=\pi - 0 - 1=\pi - 1\gt{}0$（因为 $\pi\approx3.14$，所以 $\pi - 1\gt{}0$）。
- 应用零点定理（或介值定理）：
由于函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,\pi]$ 上连续（因为 $f(x)$ 是初等函数，初等函数在其定义域内连续，$[0,\pi]$ 是其定义域的一部分），且 $f(0)\lt{}0$，$f(\pi)\gt{}0$，根据零点定理（或介值定理），必然存在 $c\in(0,\pi)$，使得 $f(c)=0$。
而 $f(c)=c-\sin c - 1 = 0$，即 $c-\sin c = 1$，这就说明方程 $x - \sin x = 1$ 在区间 $(0,\pi)$ 内至少有一个根。