16.已知曲线C的极坐标方程是r=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为}x=1+(t)/(2),y=2+(sqrt(3))/(2)t(t为参数).(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换}x^prime=3x,y^prime=y得到曲线C'，设曲线C'上任一点为M(x,y)，求(x)/(3)+sqrt(3)y的最小值.

考查要点：

1. 极坐标与直角坐标的转换：将极坐标方程转换为直角坐标方程，需利用基本公式$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$。
2. 参数方程消参：通过消去参数$t$，将直线的参数方程转化为直角坐标方程。
3. 伸缩变换与椭圆方程：通过坐标变换得到新曲线方程，并利用参数方程表示椭圆上的点。
4. 三角函数最值：将表达式转化为单一三角函数形式，利用有界性求最小值。

解题核心思路：

• 第（1）题：直接应用极坐标与参数方程的转换方法。
• 第（2）题：通过伸缩变换得到椭圆方程，利用参数方程将目标表达式转化为三角函数形式，结合振幅求最值。

第（1）题

曲线C的直角坐标方程

极坐标方程$r=1$对应直角坐标系中的圆，方程为：
$x^2 + y^2 = 1$

直线l的直角坐标方程

参数方程：
$\begin{cases}x = 1 + \dfrac{t}{2} \\y = 2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}t\end{cases}$
消去参数$t$：
从$x$的表达式解出$t$：
$t = 2(x - 1)$
代入$y$的表达式：
$y = 2 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2(x - 1) = \sqrt{3}(x - 1) + 2$
整理得：
$y = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3}$
或写为标准形式：
$\sqrt{3}x - y + 2 - \sqrt{3} = 0$

第（2）题

曲线C'的方程

伸缩变换$\begin{cases}x' = 3x \\ y' = y\end{cases}$代入原曲线$C$的方程$x^2 + y^2 = 1$，得：
$\left(\dfrac{x'}{3}\right)^2 + (y')^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2}{9} + y^2 = 1$

求最小值

设椭圆$C'$上的点$M(x, y)$的参数方程为：
$x = 3\cos\theta, \quad y = \sin\theta$
代入目标表达式：
$\frac{x}{3} + \sqrt{3}y = \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta$
三角函数合成：
利用公式$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \phi)$，其中$\phi = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$，得：
$\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)$
最小值：
当$\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right) = -1$时，最小值为$-2$。