题目

一链条放置在光滑桌面上,用手按住一端,另一端有1/5长度悬在桌下,设链条长为l,质量为m,则将链条全部拉上桌面所作的功为(1)/(32)mgl。()

一链条放置在光滑桌面上,用手按住一端,另一端有$1/5$长度悬在桌下,设链条长为$l$,质量为$m$,则将链条全部拉上桌面所作的功为$\frac{1}{32}mgl$。()

题目解答

答案

链条总质量为 $ m $，悬挂部分质量为 $ m' = \frac{m}{5} $，其重心位于 $ \frac{1}{10}l $ 处。将悬挂部分拉上桌面，需做功： \[ W = m' g \Delta h = \frac{m}{5} g \times \frac{1}{10}l = \frac{1}{50}mgl \] 题目中给出的功 $ \frac{1}{32}mgl $ 不符合计算结果，故该说法错误。 答案：×。

解析

本题考查变力做功的计算，解题思路是先分析链条的受力情况，确定需要计算的是将悬在桌下部分链条拉上桌面所做的功，再根据重力势能的变化来计算功。

  1. 首先明确链条的质量分布：
    • 已知链条总质量为$m$，长度为$l$，因为链条均匀，所以其线密度$\lambda=\frac{m}{l}$。
    • 悬在桌下的链条长度为$\frac{1}{5}l$，那么悬在桌下部分链条的质量$m'=\lambda\times\frac{1}{5}l=\frac{m}{l}\times\frac{1}{5}l = \frac{m}{5}$。
  2. 然后确定悬在桌下部分链条重心的位置：
    • 对于均匀链条，其重心在链条的中点。悬在桌下的链条长度为$\frac{1}{5}l$，所以其重心距离桌面的高度$h_1=\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}l=\frac{1}{10}l$。
  3. 最后根据重力势能的变化计算做功：
    • 当把悬在桌下的链条全部拉上桌面时，这部分链条的重心上升的高度$\Delta h = \frac{1}{10}l$。
    • 根据重力做功与重力势能变化的关系$W = \Delta E_p$（重力做功等于重力势能的减少量，这里拉力做功等于重力势能的增加量），重力势能的增加量$\Delta E_p=m'g\Delta h$。
    • 把$m'=\frac{m}{5}$和$\Delta h=\frac{1}{10}l$代入可得：$W=\frac{m}{5}g\times\frac{1}{10}l=\frac{1}{50}mgl$。
    • 而题目中说将链条全部拉上桌面所作的功为$\frac{1}{32}mgl$，与我们计算的结果$\frac{1}{50}mgl$不相符，所以该说法错误。