题目

若要计算 int int_(D) (sin x)/(x) dx dy，其中 D 是由 x=y 和 x^2=y 所围成的闭区域, 你采取哪种积分次序更简便? (). A 先对x后对y的积分次序 B 先对y后对x的积分次序 C 同样简便 D 两种积分次序都做不出来

若要计算 $\int \int_{D} \frac{\sin x}{x} dx dy$，其中 $D$ 是由 $x=y$ 和 $x^2=y$ 所围成的闭区域, 你采取哪种积分次序更简便? ().

A 先对x后对y的积分次序

B 先对y后对x的积分次序

C 同样简便

D 两种积分次序都做不出来

题目解答

答案

为了确定计算二重积分 $\iint\limits_{D}\frac{\sin x}{x}dxdy$ 的最简便积分次序，其中 $D$ 是由 $x = y$ 和 $x^2 = y^2$ 所围成的闭区域，我们首先需要理解区域 $D$。 方程 $x^2 = y^2$ 可以重写为 $x = y$ 或 $x = -y$。因此，区域 $D$ 是由直线 $x = y$ 和 $x = -y$ 所围成的。这个区域关于y轴对称，可以描述为 $-x \leq y \leq x$ 对于 $x \geq 0$，或者 $x \leq y \leq -x$ 对于 $x \leq 0$。 让我们考虑两种积分次序： 1. **先对 $y$ 后对 $x$ 的积分次序：** 区域 $D$ 可以描述为 $-x \leq y \leq x$ 对于 $0 \leq x \leq a$（其中 $a$ 是某个正数，但因为函数是连续的，且积分在任何有限区域上都是有限的，我们可以考虑整个区域）。积分变为： \[ \int_{0}^{a} \int_{-x}^{x} \frac{\sin x}{x} \, dy \, dx \] 首先，我们对 $y$ 进行积分： \[ \int_{-x}^{x} \frac{\sin x}{x} \, dy = \frac{\sin x}{x} \left[ y \right]_{-x}^{x} = \frac{\sin x}{x} (x - (-x)) = \frac{\sin x}{x} \cdot 2x = 2 \sin x \] 现在，我们对 $x$ 进行积分： \[ \int_{0}^{a} 2 \sin x \, dx = 2 \left[ -\cos x \right]_{0}^{a} = 2 (-\cos a + \cos 0) = 2 (1 - \cos a) \] 当 $a \to \infty$ 时，积分收敛，但我们可以看到，关于 $x$ 的积分是直接的。 2. **先对 $x$ 后对 $y$ 的积分次序：** 区域 $D$ 可以描述为 $y \leq x \leq -y$ 对于 $-a \leq y \leq a$。积分变为： \[ \int_{-a}^{a} \int_{y}^{-y} \frac{\sin x}{x} \, dx \, dy \] 首先，我们对 $x$ 进行积分： \[ \int_{y}^{-y} \frac{\sin x}{x} \, dx \] 函数 $\frac{\sin x}{x}$ 是一个偶函数，因此从 $y$ 到 $-y$ 的积分是： \[ \int_{y}^{-y} \frac{\sin x}{x} \, dx = -\int_{-y}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx = -2 \int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx \] 现在，我们对 $y$ 进行积分： \[ \int_{-a}^{a} -2 \int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx \, dy \] 这个积分更复杂，因为 $\int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx$ 没有初等原函数。 因此，先对 $y$ 后对 $x$ 的积分次序更简便。 答案是 $\boxed{B}$。

解析

本题考查二重积分积分次序的选择，解题的关键在于分析被积函数和积分区域的特点，通过比较不同积分次序下积分的难易程度来确定最简便的积分次序。

  1. 确定积分区域：
    • 已知积分区域 $D$ 由 $x = y$ 和 $x^2 = y^2$ 所围成。
    • 对于方程 $x^2 = y^2$，根据平方根的性质可得 $x = y$ 或 $x = -y$。
    • 所以区域 $D$ 是由直线 $x = y$ 和 $x = -y$ 所围成的，该区域关于 $y$ 轴对称。
    • 可以将区域 $D$ 描述为：当 $x\geq0$ 时，$-x\leq y\leq x$；当 $x\leq0$ 时，$x\leq y\leq -x$。
  2. 分析先对 $y$ 后对 $x$ 的积分次序：
    • 此时积分区域 $D$ 可表示为 $0\leq x\leq a$（$a$ 为正数），$-x\leq y\leq x$，则二重积分$\iint\limits_{D}\frac{\sin x}{x}dxdy$可写为$\int_{0}^{a} \int_{-x}^{x} \frac{\sin x}{x} \, dy \, dx$。
    • 先对 $y$ 积分：
      • 根据定积分的计算法则$\int_{-x}^{x} \frac{\sin x}{x} \, dy$，因为$\frac{\sin x}{x}$与 $y$ 无关，可将其看作常数提到积分号外，即$\frac{\sin x}{x} \int_{-x}^{x} 1 \, dy$。
      • 计算$\int_{-x}^{x} 1 \, dy$，根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}1\cdot dy=y\big|_{a}^{b}$，可得$\int_{-x}^{x} 1 \, dy = y\big|_{-x}^{x}=x - (-x)=2x$。
      • 所以$\int_{-x}^{x} \frac{\sin x}{x} \, dy = \frac{\sin x}{x} \cdot 2x = 2 \sin x$。
    • 再对 $x$ 积分：
      • 计算$\int_{0}^{a} 2 \sin x \, dx$，根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}\sin xdx=-\cos x\big|_{a}^{b}$，可得$\int_{0}^{a} 2 \sin x \, dx = 2 \left[ -\cos x \right]_{0}^{a} = 2 (-\cos a + \cos 0)=2 (1 - \cos a)$。
      • 当 $a \to \infty$ 时，积分收敛，且关于 $x$ 的积分计算较为直接。
  3. 分析先对 $x$ 后对 $y$ 的积分次序：
    • 此时积分区域 $D$ 可表示为 $-a\leq y\leq a$，$y\leq x\leq -y$，则二重积分$\iint\limits_{D}\frac{\sin x}{x}dxdy$可写为$\int_{-a}^{a} \int_{y}^{-y} \frac{\sin x}{x} \, dx \, dy$。
    • 先对 $x$ 积分：
      • 因为函数$\frac{\sin x}{x}$是偶函数，根据定积分的性质$\int_{a}^{-a}f(x)dx=-\int_{-a}^{a}f(x)dx$（$f(x)$为偶函数），所以$\int_{y}^{-y} \frac{\sin x}{x} \, dx = -\int_{-y}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx$。
      • 再根据偶函数在对称区间上的积分性质$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx$（$f(x)$为偶函数），可得$-\int_{-y}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx=-2 \int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx$。
    • 再对 $y$ 积分：
      • 此时积分变为$\int_{-a}^{a} -2 \int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx \, dy$，由于$\int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx$没有初等原函数，所以这个积分计算较为复杂。