5.若 (x)=(e)^3xcos x 为微分方程 ''+py'+qy=0 的解,则常数p和q的值-|||-为 ()-|||-A. p=-6 ,q=10 B. p=-6 ,q=-10-|||-C. p=6 ,q=-10 D. p=6 ,q=10

考查要点：本题主要考查二阶线性齐次微分方程的解与特征方程的关系，以及通过代入法确定微分方程系数的能力。

解题核心思路：

1. 特征方程法：根据解的形式 $y = e^{3x}\cos x$，推断特征方程的复根，进而写出特征方程，得到 $p$ 和 $q$ 的值。
2. 代入法：将已知解代入微分方程，通过求导并整理方程，解出 $p$ 和 $q$。

破题关键点：

• 识别解的结构：$e^{3x}\cos x$ 对应特征根 $3 \pm i$，特征方程为 $(r-3-i)(r-3+i)=0$，展开后可得 $p$ 和 $q$。
• 代入验证：通过计算 $y''$、$y'$ 并代入方程，联立方程组求解 $p$ 和 $q$。

方法一：特征方程法

1. 确定特征根：
   解 $y = e^{3x}\cos x$ 对应特征根为 $3 \pm i$。
2. 构造特征方程：
   特征方程为 $(r-3-i)(r-3+i) = r^2 -6r +10 = 0$，对应微分方程 $y'' -6y' +10y = 0$，即 $p=-6$，$q=10$。

方法二：代入法

1. 求导：
   • $y = e^{3x}\cos x$
   • $y' = e^{3x}(3\cos x - \sin x)$
   • $y'' = e^{3x}(8\cos x -6\sin x)$
2. 代入方程：
   $y'' + p y' + q y = e^{3x}\left[(8\cos x -6\sin x) + p(3\cos x - \sin x) + q\cos x\right] = 0$
3. 整理系数：
   • $\cos x$ 的系数：$8 + 3p + q = 0$
   • $\sin x$ 的系数：$-6 - p = 0$
4. 解方程组：
   • 由 $\sin x$ 系数得 $p = -6$
   • 代入 $\cos x$ 系数得 $q = 10$