求极限 lim _(xarrow 1)dfrac (ln [ cos (x-1)] )(1-sin dfrac {pi )(2)x}

考查要点：本题主要考查洛必达法则的应用，以及在处理复杂分式极限时的连续求导能力。

解题核心思路：
当直接代入$x=1$时，分子和分母均趋近于$0$，形成$\dfrac{0}{0}$型不定式，因此可以两次应用洛必达法则。每次应用时需对分子和分母分别求导，直到极限可直接计算为止。

破题关键点：

1. 识别极限类型：确认为$\dfrac{0}{0}$型，满足洛必达法则的使用条件。
2. 正确求导：分子和分母的导数需准确计算，尤其注意链式法则和复合函数求导。
3. 符号处理：两次求导过程中负号的变化需仔细核对，避免符号错误。

步骤1：验证极限类型
当$x \rightarrow 1$时，分子$\ln[\cos(x-1)] \rightarrow \ln(1) = 0$，分母$1 - \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) \rightarrow 1 - 1 = 0$，因此为$\dfrac{0}{0}$型不定式，可应用洛必达法则。

步骤2：第一次应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：
  $\dfrac{d}{dx} \ln[\cos(x-1)] = \dfrac{1}{\cos(x-1)} \cdot (-\sin(x-1)) \cdot 1 = -\tan(x-1)$
• 分母导数：
  $\dfrac{d}{dx} \left[1 - \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\right] = -\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) \cdot \dfrac{\pi}{2}$

此时极限变为：
$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{-\tan(x-1)}{-\dfrac{\pi}{2} \cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)} = \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\tan(x-1)}{\dfrac{\pi}{2} \cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)}$

步骤3：第二次应用洛必达法则
再次代入$x=1$，分子$\tan(0)=0$，分母$\dfrac{\pi}{2} \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$，仍为$\dfrac{0}{0}$型。继续求导：

• 分子导数：
  $\dfrac{d}{dx} \tan(x-1) = \sec^2(x-1) \cdot 1$
• 分母导数：
  $\dfrac{d}{dx} \left[\dfrac{\pi}{2} \cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\right] = \dfrac{\pi}{2} \cdot \left(-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\right) \cdot \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi^2}{4} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$

此时极限变为：
$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\sec^2(x-1)}{-\dfrac{\pi^2}{4} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)}$

步骤4：代入计算最终结果
当$x=1$时，$\sec^2(0) = 1$，$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$，因此：
$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{1}{-\dfrac{\pi^2}{4} \cdot 1} = -\dfrac{4}{\pi^2}$