设 a(x), b(x), f(x) 是已知函数，且 f(x)neq 0，C_1, C_2 是任意常数。若函数 y = mathrm(e)^x, y = mathrm(e)^2x, y = x 是方程 y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x) 的三个解，则关于方程 y'' + a(x)y' + b(x)y = 0（记该方程为（*））的解的说法正确的是(）。A. y = C_1 mathrm(e)^2x + C_2 x 是（*）的通解B. y = mathrm(e)^2x - x 不是（*）的解C. y = C_1 (mathrm(e)^x - x)+ C_2 (mathrm(e)^2x - x) 是（*）的通解D. y = mathrm(e)^x 是（*）的特解

本题考查二阶线性非齐次方程解的性质与通解结构。解题的关键在于利用非齐次方程解的差是对应齐次方程的解这一性质，找出齐次方程的解，并判断其线性无关性，进而确定齐次方程的通解。

步骤一：明确非齐次方程解的性质

已知$y = \mathrm{e}^x$，$y = \mathrm{e}^{2x}$，$y = x$是方程$y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$的三个解。根据二阶线性非齐次方程解的性质：若$y_1,y_2,y_3$是非齐次方程$y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$的解，则$y_1 - y_3$，$y_2 - y_3$是对应齐次方程$y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$的解。

步骤二：求出齐次方程的解

• 令$y_1=\mathrm{e}^x$，$y_2=\mathrm{e}^{2x}$，$y_3 = x$，则$y_1 - y_3=\mathrm{e}^x - x$，$y_2 - y_3=\mathrm{e}^{2x} - x$是方程$(*)$的解。

步骤三：判断齐次方程解的线性无关性

设$k_1(\mathrm{e}^x - x)+k_2(\mathrm{e}^{2x} - x)=0$，即$k_1\mathrm{e}^x + k_2\mathrm{e}^{2x}-(k_1 + k_2)x = 0$。
分别令$x = 0$，$x = 1$，$x = 2$可得方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 0\\k_1\mathrm{e}+k_2\mathrm{e}^2-(k_1 + k_2)=0\\k_1\mathrm{e}^2 + k_2\mathrm{e}^4-(k_1 + k_2)=0\end{cases}$
由$k_1 + k_2 = 0$可得$k_2=-k_1$，代入$k_1\mathrm{e}+k_2\mathrm{e}^2-(k_1 + k_2)=0$得：
$k_1\mathrm{e}-k_1\mathrm{e}^2=0$，即$k_1(\mathrm{e}-\mathrm{e}^2)=0$，因为$\mathrm{e}-\mathrm{e}^2\neq0$，所以$k_1 = 0$，进而$k_2 = 0$。
所以$\mathrm{e}^x - x$与$\mathrm{e}^{2x} - x$线性无关。

步骤四：确定齐次方程的通解

对于二阶齐次线性方程，若有两个线性无关的解$y_1,y_2$，则其通解为$y = C_1y_1 + C_2y_2$（$C_1,C_2$为任意常数）。
由于$\mathrm{e}^x - x$与$\mathrm{e}^{2x} - x$是方程$(*)$的两个线性无关的解，所以方程$(*)$的通解为$y = C_1 (\mathrm{e}^x - x)+ C_2 (\mathrm{e}^{2x} - x)$。

步骤五：分析各选项

• 选项A：$\mathrm{e}^{2x}$与$x$不是方程$(*)$的解，所以$y = C_1 \mathrm{e}^{2x} + C_2 x$不是$(*)$的通解，A错误。
• 选项B：因为$(\mathrm{e}^{2x} - x)-(\mathrm{e}^x - x)=\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^x$也是方程$(*)$的解，所以$y = \mathrm{e}^{2x} - x$是$(*)$的解，B错误。
• 选项C：前面已证$y = C_1 (\mathrm{e}^x - x)+ C_2 (\mathrm{e}^{2x} - x)$是$(*)$的通解，C正确。
• 选项D：$y = \mathrm{e}^x$是$y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x)$的解，不是$(*)$的特解，D错误。