11. (4.0分) 当λ取何值时，方程y=x+λcos y能确定函数?A. |λ|B. |λ|neq1C. |λ|>1D. 取任意实数

本题考查隐函数存在定理的应用，解题思路是通过构造函数，利用隐函数存在定理的条件来确定$\lambda$的取值范围。

1. 首先，设$F(x,y)=y - x - \lambda\cos y$。
   • 对于隐函数存在定理，若函数$F(x,y)$满足一定条件，则方程$F(x,y)=0$能确定隐函数。这里我们需要考虑$F(x,y)$关于$y$的偏导数。
2. 然后，求$F(x,y)$关于$y$的偏导数$F_y$：
   • 根据求导公式$(u - v - w)^\prime=u^\prime - v^\prime - w^\prime$，对于$F(x,y)=y - x - \lambda\cos y$，其中$x$看作常数。
   • 对$y$求导，$(y)^\prime = 1$，$(x)^\prime = 0$，$(\lambda\cos y)^\prime=-\lambda\sin y$。
   • 所以$F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=1+\lambda\sin y$。
3. 接着，根据隐函数存在定理，要使方程$F(x,y) = 0$能确定隐函数$y = f(x)$，需要$F_y\neq0$。
   • 即$1+\lambda\sin y\neq0$，变形可得$\lambda\sin y\neq - 1$。
   • 因为$\vert\sin y\vert\leqslant1$，我们考虑$\vert\lambda\vert$的取值情况。
   • 若$\vert\lambda\vert\geqslant1$，当$\sin y=\pm1$时，$\lambda\sin y=\pm\lambda$，此时可能会出现$\lambda\sin y = - 1$的情况。
   • 当$\vert\lambda\vert\lt1$时，对于任意的$y$，$\vert\lambda\sin y\vert\leqslant\vert\lambda\vert\lt1$，所以$\lambda\sin y\neq - 1$，满足$F_y\neq0$。