题目
25.f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 (int )_(0)^1f(t)dt=0, 证明:存在 xi in (0,1) 使得 (xi )=(int )_(0)^5f(t)dt.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0) = 0$，$F(1) = \int_{0}^{1} f(t) dt = 0$。
步骤 2：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0) = F(1) = 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
步骤 3：计算导数
由于 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$，根据微积分基本定理，$F'(x) = f(x)$。因此，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(\xi) = F'(\xi) = 0$。
步骤 4：证明结论
由于 $F(0) = 0$，$F(1) = 0$，且 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，根据积分中值定理，存在 $\eta \in (0,1)$，使得 $F(1) - F(0) = F'(\eta) \cdot (1 - 0)$，即 $0 = f(\eta) \cdot 1$，因此 $f(\eta) = 0$。由于 $f(\xi) = 0$，因此 $f(\xi) = \int_{0}^{1} f(t) dt$。
定义辅助函数 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0) = 0$，$F(1) = \int_{0}^{1} f(t) dt = 0$。
步骤 2：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0) = F(1) = 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
步骤 3：计算导数
由于 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$，根据微积分基本定理，$F'(x) = f(x)$。因此，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(\xi) = F'(\xi) = 0$。
步骤 4：证明结论
由于 $F(0) = 0$，$F(1) = 0$，且 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，根据积分中值定理，存在 $\eta \in (0,1)$，使得 $F(1) - F(0) = F'(\eta) \cdot (1 - 0)$，即 $0 = f(\eta) \cdot 1$，因此 $f(\eta) = 0$。由于 $f(\xi) = 0$，因此 $f(\xi) = \int_{0}^{1} f(t) dt$。