题目
已知函数 f(x)=cos(2x+varphi)(0leqvarphi<pi), f(0)=(1)/(2).(1) 求 varphi；(2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x-(pi)/(6)), 求 g(x) 的值域和单调区间.
已知函数 $f(x)=\cos(2x+\varphi)(0\leq\varphi<\pi)$, $f(0)=\frac{1}{2}$. (1) 求 $\varphi$； (2) 设函数 $g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$, 求 $g(x)$ 的值域和单调区间.
题目解答
答案
我们来逐步解决这个题目。
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## **题目分析：**
已知函数：
$$
f(x) = \cos(2x + \varphi), \quad \text{其中 } 0 \leq \varphi < \pi
$$
并且：
$$
f(0) = \frac{1}{2}
$$
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## **(1) 求 $\varphi$**
我们利用已知条件 $ f(0) = \frac{1}{2} $，代入函数表达式：
$$
f(0) = \cos(2 \cdot 0 + \varphi) = \cos(\varphi) = \frac{1}{2}
$$
所以：
$$
\cos(\varphi) = \frac{1}{2}
$$
在区间 $ [0, \pi) $ 内，使得 $\cos(\varphi) = \frac{1}{2}$ 的角是：
$$
\varphi = \frac{\pi}{3}
$$
因为 $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$，且 $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi)$。
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## **(2) 求 $g(x) = f(x) + f\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ 的值域和单调区间**
### **第一步：写出 $g(x)$ 的表达式**
已知 $f(x) = \cos(2x + \varphi)$，且 $\varphi = \frac{\pi}{3}$
所以：
$$
g(x) = f(x) + f\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos\left(2(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{3}\right)
$$
化简第二个项：
$$
2(x - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{3} = 2x - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2x
$$
所以：
$$
g(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos(2x)
$$
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### **第二步：化简 $g(x)$**
使用余弦加法公式：
$$
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
$$
令 $A = 2x + \frac{\pi}{3}, B = 2x$，则：
- $\frac{A + B}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{3} + 2x}{2} = 2x + \frac{\pi}{6}$
- $\frac{A - B}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{3} - 2x}{2} = \frac{\pi}{6}$
所以：
$$
g(x) = 2 \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
$$
因为 $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以：
$$
g(x) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)
$$
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### **第三步：求值域**
由于 $\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，所以：
$$
g(x) = \sqrt{3} \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]
$$
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### **第四步：求单调区间**
我们已经知道：
$$
g(x) = \sqrt{3} \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)
$$
令：
$$
u(x) = 2x + \frac{\pi}{6}
$$
则 $g(x) = \sqrt{3} \cos(u(x))$
- $\cos(u)$ 在 $[2k\pi, 2k\pi + \pi]$ 上单调递减
- 在 $[2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi]$ 上单调递增
即：
- $\cos(u)$ 单调递减区间为 $[2k\pi, 2k\pi + \pi]$
- 单调递增区间为 $[2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi]$
将 $u = 2x + \frac{\pi}{6}$ 代入：
- 单调递减区间：
$$
2x + \frac{\pi}{6} \in [2k\pi, 2k\pi + \pi] \Rightarrow x \in \left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right]
$$
- 单调递增区间：
$$
2x + \frac{\pi}{6} \in [2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi] \Rightarrow x \in \left[k\pi + \frac{5\pi}{12}, k\pi + \frac{11\pi}{12}\right]
$$
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## **最终答案：**
### **(1)** $\boxed{\varphi = \frac{\pi}{3}}$
### **(2)**
- **值域：** $\boxed{[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]}$
- **单调递减区间：** $\boxed{x \in \left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right],\quad k \in \mathbb{Z}}$
- **单调递增区间：** $\boxed{x \in \left[k\pi + \frac{5\pi}{12}, k\pi + \frac{11\pi}{12}\right],\quad k \in \mathbb{Z}}$
解析
考查要点：
- 三角函数的相位求解：利用已知函数值求解相位角$\varphi$，需结合余弦函数的特殊值。
- 三角函数的化简与性质分析：通过和差化积公式合并余弦项，转化为标准余弦函数形式，进而求解值域和单调区间。
解题核心思路：
- 代入已知点求$\varphi$：直接利用$f(0)=\frac{1}{2}$代入函数表达式，结合余弦函数的特殊值确定$\varphi$。
- 化简复合余弦函数：将$g(x)$的表达式合并为单一余弦函数形式，利用余弦函数的性质直接分析值域和单调性。
第（1）题
关键步骤：
- 代入$f(0)=\frac{1}{2}$：
$f(0) = \cos(\varphi) = \frac{1}{2}$ - 确定$\varphi$的范围：
在区间$[0, \pi)$内，满足$\cos(\varphi) = \frac{1}{2}$的角为$\varphi = \frac{\pi}{3}$。
第（2）题
第一步：写出$g(x)$的表达式
将$\varphi = \frac{\pi}{3}$代入$f(x)$和$f\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$：
$g(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \cos(2x)$
第二步：化简$g(x)$
使用余弦和差化积公式：
$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
令$A = 2x + \frac{\pi}{3}$，$B = 2x$，得：
$g(x) = 2 \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$
进一步化简为：
$g(x) = \sqrt{3} \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$
第三步：求值域
余弦函数的取值范围为$[-1, 1]$，因此：
$g(x) \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$
第四步：求单调区间
分析$\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$的单调性：
- 单调递减区间：当$2x + \frac{\pi}{6} \in [2k\pi, 2k\pi + \pi]$时，解得：
$x \in \left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right]$ - 单调递增区间：当$2x + \frac{\pi}{6} \in [2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi]$时，解得：
$x \in \left[k\pi + \frac{5\pi}{12}, k\pi + \frac{11\pi}{12}\right]$