6、设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列叙述正确的是（）A. 当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B. 当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C. 当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D. 当f(x)是单调增加函数时，F(x)必是单调增加函数

本题主要考查原函数与导函数的性质关系，包括奇偶性、周期性和单调性。解题的关键在于根据原函数与导函数的定义及相关性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

已知$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt + C$（$C$为常数）。
若$f(x)$是奇函数，即$f(-x)= -f(x)$。
现在来验证$F(-x)$：
$F(-x)=\int_{0}^{-x}f(t)dt + C$，令$u = -t$，则$dt = -du$。
当$t = 0$时，$u = 0$；当$t = -x$时，$u = x$。
所以$F(-x)=\int_{0}^{x}f(-u)(-du) + C=\int_{0}^{x}f(u)du + C=F(x)$。
这表明当$f(x)$是奇函数时，$F(x)$必是偶函数，选项A正确。

选项B

同样$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt + C$，若$f(x)$是偶函数，即$f(-x)= f(x)$。
$F(-x)=\int_{0}^{-x}f(t)dt + C$，令$u = -t$，则$dt = -du$。
当$t = 0$时，$u = 0$；当$t = -x$时，$u = x$。
所以$F(-x)=\int_{0}^{x}f(-u)(-du) + C=-\int_{0}^{x}f(u)du + C$。
只有当$C = 0$时，$F(-x)= -F(x)$，$F(x)$才是奇函数，一般情况下$F(x)$不一定是奇函数，选项B错误。

选项C

若$f(x)$是周期函数，设周期为$T$，即$f(x + T)= f(x)$。
$F(x + T)=\int_{0}^{x + T}f(t)dt + C=\int_{0}^{x}f(t)dt + \int_{x}^{x + T}f(t)dt + C$。
虽然$f(x)$周期为$T$，但$\int_{x}^{x + T}f(t)dt$不一定为$0$，所以$F(x + T)$不一定等于$F(x)$，$F(x)$不一定是周期函数，选项C错误。

选项D

$F^\prime(x)=f(x)$，当$f(x)$单调增加时，只能说明$F(x)$的导数单调增加，但不能得出$F(x)$本身单调增加。
例如$f(x)=x$单调增加，$F(x)=\frac{1}{2}x^2 + C$，当$C$取不同值时，$F(x)$的单调性会受到影响，选项D错误。