均质圆盘水平放置,可绕通过盘心的铅垂轴自由转动,圆盘对该轴的转动惯量为j0,当其转动角速度为W0时, 有一质量为m的质点沿铅垂方向落到圆盘上,并粘在距转轴R/2处,问它们共同转动的角速度为多少.求详解.

本题考查角动量守恒定律的应用。解题的关键思路是明确系统在质点落到圆盘前后角动量守恒，通过分别计算系统初始状态和末状态的角动量，再根据角动量守恒定律列出等式，进而求解出共同转动的角速度。

步骤一：分析系统初始状态的角动量

在质点落到圆盘之前，只有圆盘在绕铅垂轴转动。根据刚体绕定轴转动的角动量公式$L = J\omega$（其中$L$为角动量，$J$为转动惯量，$\omega$为角速度），已知圆盘对该轴的转动惯量为$J_0$，转动角速度为$\omega_0$，所以此时系统的角动量$L_1 = J_0\omega_0$。

步骤二：分析系统末状态的角动量

当质量为$m$的质点沿铅垂方向落到圆盘上并粘在距转轴$R/2$处后，圆盘和质点一起绕轴转动。此时系统的总转动惯量为圆盘的转动惯量$J_0$与质点的转动惯量之和。
质点可看作质点系，其绕轴的转动惯量$J_m = m r^2$（其中$r$为质点到转轴的距离），这里$r = \frac{R}{2}$，所以$J_m = m(\frac{R}{2})^2$。
那么系统末状态的总转动惯量$J = J_0 + J_m = J_0 + m(\frac{R}{2})^2$。
设它们共同转动的角速度为$\omega$，根据角动量公式可得系统末状态的角动量$L_2 = J\omega = (J_0 + m(\frac{R}{2})^2)\omega$。

步骤三：根据角动量守恒定律列方程求解

由于系统在质点落到圆盘的过程中，所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，即$L_1 = L_2$。
将$L_1 = J_0\omega_0$和$L_2 = (J_0 + m(\frac{R}{2})^2)\omega$代入角动量守恒方程可得：
$J_0\omega_0 = (J_0 + m(\frac{R}{2})^2)\omega$
接下来求解$\omega$：
$\begin{align*}J_0\omega_0&=(J_0 + \frac{mR^2}{4})\omega\\\omega&=\frac{J_0\omega_0}{J_0 + \frac{mR^2}{4}}\\&=\frac{J_0\omega_0}{\frac{4J_0 + mR^2}{4}}\\&=\frac{4J_0\omega_0}{4J_0 + mR^2}\end{align*}$