题目

6.（5.0分）设A为二阶方阵，且|A|=2，则|2A^-1|=_。第1空

6.（5.0分）设A为二阶方阵，且|A|=2，则$|2A^{-1}|$=_。 第1空

题目解答

答案

为了求解 $ |2A^{-1}| $，我们需要使用矩阵行列式的性质。具体来说，我们需要使用以下性质： 1. 矩阵 $ A $ 的逆的行列式等于 $ A $ 的行列式的倒数，即 $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $。 2. 矩阵 $ A $ 乘以一个标量 $ k $ 的行列式等于 $ k^n $ 乘以 $ A $ 的行列式，其中 $ n $ 是矩阵 $ A $ 的阶数。对于二阶矩阵， $ n = 2 $，所以 $ |2A^{-1}| = 2^2 \cdot |A^{-1}| = 4 \cdot |A^{-1}| $。 现在，我们根据题目给定的 $ |A| = 2 $ 来计算 $ |A^{-1}| $： \[ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2} \] 接下来，我们代入 $ |A^{-1}| $ 的值来计算 $ |2A^{-1}| $： \[ |2A^{-1}| = 4 \cdot |A^{-1}| = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \] 因此，答案是 $\boxed{2}$。

解析

本题考查方阵行列式的性质，解题思路是利用方阵逆矩阵的行列式性质以及数乘矩阵的行列式性质来逐步计算$\vert 2A^{-1}\vert$的值。

  1. 首先明确方阵逆矩阵的行列式性质：对于可逆方阵$A$，有$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{|A|}$。已知$\vert A\vert = 2$，将其代入该性质可得：
    • $\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}=\frac{1}{2}$。
  2. 然后明确数乘矩阵的行列式性质：若$A$是$n$阶方阵，$k$为常数，则$\vert kA\vert=k^n\vert A\vert$。因为$A$是二阶方阵，即$n = 2$，所以$\vert 2A^{-1}\vert=2^2\vert A^{-1}\vert$。
  3. 最后将$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{2}$代入$\vert 2A^{-1}\vert=2^2\vert A^{-1}\vert$进行计算：
    • $\vert 2A^{-1}\vert=2^2\times\frac{1}{2}$
    • 先计算$2^2 = 4$，则$\vert 2A^{-1}\vert=4\times\frac{1}{2}$。
    • 再计算$4\times\frac{1}{2}=2$。