题目
【65】int(x^2+1)/((x+1)^2)(x-1)dx.
【65】$\int\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)}dx$.
题目解答
答案
为了求解积分 $\int \frac{x^2 + 1}{(x+1)^2 (x-1)} \, dx$，我们首先需要对被积函数进行部分分式分解。设
\[
\frac{x^2 + 1}{(x+1)^2 (x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-1}.
\]
将右边通分，得到
\[
\frac{x^2 + 1}{(x+1)^2 (x-1)} = \frac{A(x+1)(x-1) + B(x-1) + C(x+1)^2}{(x+1)^2 (x-1)}.
\]
由于分母相同，我们只需比较分子，即
\[
x^2 + 1 = A(x^2 - 1) + B(x - 1) + C(x^2 + 2x + 1).
\]
展开并合并同类项，得到
\[
x^2 + 1 = (A + C)x^2 + (B + 2C)x + (-A - B + C).
\]
为了使等式成立，两边的对应系数必须相等。因此，我们得到方程组
\[
\begin{cases}
A + C = 1, \\
B + 2C = 0, \\
-A - B + C = 1.
\end{cases}
\]
我们可以通过解这个方程组来找到 $A$、$B$ 和 $C$ 的值。首先，从第二个方程解出 $B$，
\[
B = -2C.
\]
将 $B = -2C$ 代入第一个和第三个方程，得到
\[
\begin{cases}
A + C = 1, \\
-A + 2C + C = 1.
\end{cases}
\]
简化第三个方程，得到
\[
-A + 3C = 1.
\]
现在我们有方程组
\[
\begin{cases}
A + C = 1, \\
-A + 3C = 1.
\end{cases}
\]
将两个方程相加，得到
\[
4C = 2 \implies C = \frac{1}{2}.
\]
将 $C = \frac{1}{1}$ 代回 $A + C = 1$，得到
\[
A + \frac{1}{2} = 1 \implies A = \frac{1}{2}.
\]
将 $C = \frac{1}{2}$ 代回 $B = -2C$，得到
\[
B = -2 \times \frac{1}{2} = -1.
\]
因此，部分分式分解为
\[
\frac{x^2 + 1}{(x+1)^2 (x-1)} = \frac{1/2}{x+1} + \frac{-1}{(x+1)^2} + \frac{1/2}{x-1} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2(x-1)}.
\]
现在我们可以逐项积分，
\[
\int \frac{x^2 + 1}{(x+1)^2 (x-1)} \, dx = \int \left( \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2(x-1)} \right) \, dx.
\]
这等于
\[
\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \, dx - \int \frac{1}{(x+1)^2} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \, dx.
\]
第一个和第三个积分是基本的对数积分，
\[
\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x+1|,
\]
\[
\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x-1|.
\]
第二个积分可以使用幂规则，
\[
- \int \frac{1}{(x+1)^2} \, dx = \frac{1}{x+1}.
\]
将这些结果组合起来，得到
\[
\frac{1}{2} \ln |x+1| + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln |x-1| + C,
\]
其中 $C$ 是积分常数。因此，最终答案是
\[
\boxed{\frac{1}{2} \ln |x^2-1| + \frac{1}{x+1} + C}.
\]
解析
考查要点：本题主要考查有理函数的积分方法，特别是部分分式分解的应用。需要将被积函数分解为简单分式的和，再逐项积分。
解题核心思路：
- 分解分母：分母为$(x+1)^2(x-1)$，需设部分分式形式为$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-1}$。
- 待定系数法：通过比较分子多项式系数，解方程组确定$A$、$B$、$C$的值。
- 逐项积分：将分解后的分式分别积分，注意处理幂函数和对数函数的积分形式。
破题关键点：
- 正确设部分分式形式，尤其注意重复因式$(x+1)^2$对应的分式项。
- 准确展开并整理分子多项式，确保系数对应无误。
- 合并对数项简化最终结果。
设被积函数为部分分式形式：
$\frac{x^2 + 1}{(x+1)^2 (x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-1}.$
通分并比较分子：
右边通分后分子为：
$A(x+1)(x-1) + B(x-1) + C(x+1)^2.$
展开整理得：
$(A + C)x^2 + (B + 2C)x + (-A - B + C).$
与左边分子$x^2 + 1$比较，得到方程组：
$\begin{cases}A + C = 1, \\B + 2C = 0, \\-A - B + C = 1.\end{cases}$
解方程组：
- 由第二式得$B = -2C$。
- 代入第一式得$A = 1 - C$。
- 代入第三式得$-(1 - C) + 2C + C = 1$，解得$C = \frac{1}{2}$。
- 回代得$A = \frac{1}{2}$，$B = -1$。
部分分式分解结果：
$\frac{x^2 + 1}{(x+1)^2 (x-1)} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2(x-1)}.$
逐项积分：
- $\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx = \frac{1}{2} \ln |x+1|$。
- $-\int \frac{1}{(x+1)^2} dx = \frac{1}{x+1}$。
- $\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx = \frac{1}{2} \ln |x-1|$。
合并结果：
$\frac{1}{2} \ln |x+1| + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln |x-1| + C.$
进一步合并对数项：
$\frac{1}{2} \ln |x^2 - 1| + \frac{1}{x+1} + C.$