设 f(z) = (z^2 + 1)/(z(z-1)^2)，则 f(z) 在 z = 1 处的留数为A. 1B. 2C. 0D. -1

本题考查复变函数中留数的计算，解题思路是先判断函数在奇点处的类型，再根据相应的留数计算方法来求解。

已知函数$f(z) = \frac{z^2 + 1}{z(z - 1)^2}$，$z = 1$是函数$f(z)$的二阶极点。对于$m$阶极点$z_0$，函数$f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$（其中$g(z)$和$h(z)$在$z_0$处解析，且$g(z_0)\neq0$，$h(z_0)=0$，$h^\prime(z_0)\neq0$），其留数计算公式为$\text{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{(m - 1)!}\lim\limits_{z \to z_0}\frac{d^{m - 1}}{dz^{m - 1}}[(z - z_0)^m f(z)]$。

在本题中，$z_0 = 1$，$m = 2$，$g(z)=z^2 + 1$，$h(z)=z(z - 1)^2$，则$(z - 1)^2f(z)=\frac{z^2 + 1}{z}$。

接下来求$\frac{d}{dz}[(z - 1)^2f(z)]$，即对$\frac{z^2 + 1}{z}$求导：
根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = z^2 + 1$，$v = z$。
$u^\prime=\frac{d}{dz}(z^2 + 1)=2z$，$v^\prime=\frac{d}{dz}(z)=1$。
所以$\frac{d}{dz}[\frac{z^2 + 1}{z}]=\frac{2z\cdot z-(z^2 + 1)\cdot1}{z^2}=\frac{2z^2 - z^2 - 1}{z^2}=\frac{z^2 - 1}{z^2}$。

然后求$\lim\limits_{z \to 1}\frac{d}{dz}[(z - 1)^2f(z)]$，即$\lim\limits_{z \to 1}\frac{z^2 - 1}{z^2}$：
将$z = 1$代入$\frac{z^2 - 1}{z^2}$可得：$\frac{1^2 - 1}{1^2}=0$。

最后根据留数计算公式$\text{Res}[f(z),1]=\frac{1}{(2 - 1)!}\lim\limits_{z \to 1}\frac{d}{dz}[(z - 1)^2f(z)] = 1\times0 = 0$。