8.由曲线y=sin^(3)/(2)x(0le xle pi)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积V_(x)=A. (4)/(3)B. (4)/(3)piC. (2)/(3)pi^2D. (2)/(3)pi

本题考查利用定积分求旋转体的体积。解题思路是先明确旋转体体积的计算公式，再将曲线方程代入公式，最后通过换元法计算定积分得出结果。

根据旋转体体积公式，由曲线$y = f(x)$（$a\leqslant x\leqslant b$）与$x$轴围成的平面图形绕$x$轴旋转一周而成的立体的体积$V_{x}=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$。

已知曲线$y = \sin^{\frac{3}{2}}x$，$0\leqslant x\leqslant \pi$，则该立体体积为：
$V_{x}=\pi\int_{0}^{\pi}(\sin^{\frac{3}{2}}x)^{2}dx=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{3}xdx$
根据三角函数公式$\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x$，对$\sin^{3}x$进行变形可得$\sin^{3}x=\sin x\cdot\sin^{2}x=\sin x(1 - \cos^{2}x)$，则：
$V_{x}=\pi\int_{0}^{\pi}\sin x(1 - \cos^{2}x)dx$
令$t = \cos x$，则$dt = -\sin xdx$。
当$x = 0$时，$t = \cos 0 = 1$；当$x = \pi$时，$t = \cos \pi = -1$。
此时积分变为：
$V_{x}=-\pi\int_{1}^{-1}(1 - t^{2})dt=\pi\int_{-1}^{1}(1 - t^{2})dt$
因为被积函数$1 - t^{2}$是偶函数，根据偶函数在对称区间上的积分性质$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx$，可得：
$V_{x}=2\pi\int_{0}^{1}(1 - t^{2})dt$
根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$，则：
$V_{x}=2\pi(\int_{0}^{1}1dt - \int_{0}^{1}t^{2}dt)$
分别计算两个定积分：
$\int_{0}^{1}1dt=t\big|_{0}^{1}=1 - 0 = 1$
$\int_{0}^{1}t^{2}dt=\frac{1}{3}t^{3}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^{3}-0^{3})=\frac{1}{3}$
将结果代入上式可得：
$V_{x}=2\pi(1 - \frac{1}{3})=2\pi\times\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\pi$