lim _(x arrow x_{0)} f(x)=lim _(x arrow x_{0)} f(x)=A 是 lim _(x arrow x_{0)} f(x)=A 的[ ]条件。A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 无关

本题考查函数极限存在的充要条件以及充分条件、必要条件的判断。解题的关键在于理解函数极限存在的定义以及充分条件和必要条件的概念。

1. 明确函数极限存在的定义

函数$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$存在的充要条件是左极限$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$和右极限$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$都存在且相等，即$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A$。

2. 判断充分性

充分性是指由条件“$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A$”能否推出结论“$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$”。
根据函数极限存在的定义，当左极限和右极限都等于$A$时，函数在$x \to x_{0}$时的极限就存在且等于$A$，即$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$。所以由“$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A$”可以推出“$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$”，充分性成立。

3. 判断必要性

必要性是指由结论“$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$”能否推出条件“$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A$”。
若$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$，根据函数极限存在的定义，必然有左极限$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=A$且右极限$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A$，即$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A$。所以由“$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$”可以推出“$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A$”，必要性成立。

由于充分性和必要性都成立，所以$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A$是$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$的充要条件。