题目
.求 f(x,y,z)=(x)^2+(y)^2+z-1 在点P(1,2,3)处沿从P(1,2,3)到点Q 3,2,1)的方向的方导数.
.求 $f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+z-1$ 在点P(1,2,3)处沿从P(1,2,3)到点Q 3,2,1)的方向的方导数.
题目解答
答案
本题考查方向导数的计算。先求出方向向量，再求出梯度，然后计算点乘即可。
$\overrightarrow{PQ}=(2,0,-2)$，$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=2\sqrt2$
$\overrightarrow{PQ}$单位向量$\overrightarrow{l}=(\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})$
$\nabla f(x,y,z)=(2x,2y,1)$，$\nabla f(1,2,3)=(2,4,1)$
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(1,2,3)}=\nabla f(1,2,3)\cdot \overrightarrow{l}=(2,4,1)\cdot (\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})=\frac{\sqrt2}{2}\times 2-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$
$\overrightarrow{PQ}=(2,0,-2)$，$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=2\sqrt2$
$\overrightarrow{PQ}$单位向量$\overrightarrow{l}=(\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})$
$\nabla f(x,y,z)=(2x,2y,1)$，$\nabla f(1,2,3)=(2,4,1)$
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(1,2,3)}=\nabla f(1,2,3)\cdot \overrightarrow{l}=(2,4,1)\cdot (\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})=\frac{\sqrt2}{2}\times 2-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$
解析
步骤 1：求方向向量
从点P(1,2,3)到点Q(3,2,1)的方向向量为$\overrightarrow{PQ}=(3-1,2-2,1-3)=(2,0,-2)$。
步骤 2：求单位方向向量
$\overrightarrow{PQ}$的模为$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=2\sqrt2$，所以单位方向向量$\overrightarrow{l}=(\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})$。
步骤 3：求梯度
函数$f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+z-1$的梯度为$\nabla f(x,y,z)=(2x,2y,1)$，在点P(1,2,3)处的梯度为$\nabla f(1,2,3)=(2,4,1)$。
步骤 4：计算方向导数
方向导数$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(1,2,3)}=\nabla f(1,2,3)\cdot \overrightarrow{l}=(2,4,1)\cdot (\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})=\frac{\sqrt2}{2}\times 2-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$。
从点P(1,2,3)到点Q(3,2,1)的方向向量为$\overrightarrow{PQ}=(3-1,2-2,1-3)=(2,0,-2)$。
步骤 2：求单位方向向量
$\overrightarrow{PQ}$的模为$|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=2\sqrt2$，所以单位方向向量$\overrightarrow{l}=(\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})$。
步骤 3：求梯度
函数$f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+z-1$的梯度为$\nabla f(x,y,z)=(2x,2y,1)$，在点P(1,2,3)处的梯度为$\nabla f(1,2,3)=(2,4,1)$。
步骤 4：计算方向导数
方向导数$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(1,2,3)}=\nabla f(1,2,3)\cdot \overrightarrow{l}=(2,4,1)\cdot (\frac{\sqrt2}{2},0,-\frac{\sqrt2}{2})=\frac{\sqrt2}{2}\times 2-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$。