题目
16.曲线 =(e)^dfrac (1{{x)^2}}arctan dfrac ({x)^2+x+1}((x-1)(x+2)) 的渐近线条数为 ()-|||-A.1 B.2 C.3 D.4
题目解答
答案
B. 2
解析
步骤 1：确定水平渐近线
计算当 $x$ 趋向于无穷大时，$y$ 的极限值。由于 $\arctan$ 函数的值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，且 $\frac{{x}^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 在 $x$ 趋向于无穷大时趋向于 $1$，因此 $\arctan \frac{{x}^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 趋向于 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。而 ${e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$ 在 $x$ 趋向于无穷大时趋向于 $1$，因此 $y$ 趋向于 $\frac{\pi}{4}$。所以，$y=\frac{\pi}{4}$ 是一条水平渐近线。
步骤 2：确定垂直渐近线
计算当 $x$ 趋向于 $0$ 时，$y$ 的极限值。由于 $\frac{{x}^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 在 $x$ 趋向于 $0$ 时趋向于 $-\frac{1}{2}$，因此 $\arctan \frac{{x}^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 趋向于 $\arctan(-\frac{1}{2})$。而 ${e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$ 在 $x$ 趋向于 $0$ 时趋向于无穷大，因此 $y$ 趋向于无穷大。所以，$x=0$ 是一条垂直渐近线。
步骤 3：确定其他可能的渐近线
检查其他可能的渐近线，如斜渐近线。由于 $y$ 的表达式中没有线性项，因此不存在斜渐近线。此外，由于 $y$ 的表达式中没有其他可能导致渐近线的因子，因此不存在其他渐近线。
计算当 $x$ 趋向于无穷大时，$y$ 的极限值。由于 $\arctan$ 函数的值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，且 $\frac{{x}^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 在 $x$ 趋向于无穷大时趋向于 $1$，因此 $\arctan \frac{{x}^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 趋向于 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。而 ${e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$ 在 $x$ 趋向于无穷大时趋向于 $1$，因此 $y$ 趋向于 $\frac{\pi}{4}$。所以，$y=\frac{\pi}{4}$ 是一条水平渐近线。
步骤 2：确定垂直渐近线
计算当 $x$ 趋向于 $0$ 时，$y$ 的极限值。由于 $\frac{{x}^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 在 $x$ 趋向于 $0$ 时趋向于 $-\frac{1}{2}$，因此 $\arctan \frac{{x}^{2}+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 趋向于 $\arctan(-\frac{1}{2})$。而 ${e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$ 在 $x$ 趋向于 $0$ 时趋向于无穷大，因此 $y$ 趋向于无穷大。所以，$x=0$ 是一条垂直渐近线。
步骤 3：确定其他可能的渐近线
检查其他可能的渐近线，如斜渐近线。由于 $y$ 的表达式中没有线性项，因此不存在斜渐近线。此外，由于 $y$ 的表达式中没有其他可能导致渐近线的因子，因此不存在其他渐近线。