题目
17.(本题满分10分)-|||-设g(x)二阶可导,且 f(x)= { ,xneq 0 a,x=0. .-|||-(1)求常数a,使得f (x)在 x=0 处连续;-|||-(2)在(1)的结论下求f`(x),并讨论f`(x)在 x=0 处的连续性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求常数a，使得f(x)在x=0处连续
为了使f(x)在x=0处连续，需要满足$\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$。根据f(x)的定义，当$x\neq 0$时，$f(x)=\dfrac{g(x)-\cos x}{x}$，因此需要求$\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-\cos x}{x}$。由于g(x)二阶可导，可以使用洛必达法则求解该极限。根据洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g'(x)+\sin x}{1}=g'(0)+\sin(0)=g'(0)$。因此，为了使f(x)在x=0处连续，需要$a=g'(0)$。
步骤 2：求f'(x)
当$x\neq 0$时，$f(x)=\dfrac{g(x)-\cos x}{x}$，因此$f'(x)=\dfrac{x[g'(x)+\sin x]-(g(x)-\cos x)}{x^2}$。当$x=0$时，$f'(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{g(x)-\cos x}{x}-g'(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-\cos x-xg'(0)}{x^2}$。根据洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-\cos x-xg'(0)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g'(x)+\sin x-g'(0)}{2x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g''(x)+\cos x}{2}=\dfrac{g''(0)+1}{2}$。因此，$f'(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x[g'(x)+\sin x]-(g(x)-\cos x)}{x^2},x\neq 0\\ \dfrac{g''(0)+1}{2},x=0.\end{matrix} \right.$
步骤 3：讨论f'(x)在x=0处的连续性
为了讨论f'(x)在x=0处的连续性，需要求$\lim_{x\to 0}f'(x)$。当$x\neq 0$时，$f'(x)=\dfrac{x[g'(x)+\sin x]-(g(x)-\cos x)}{x^2}$，因此$\lim_{x\to 0}f'(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{x[g'(x)+\sin x]-(g(x)-\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g''(x)+\cos x}{2}=\dfrac{g''(0)+1}{2}$。由于$f'(0)=\dfrac{g''(0)+1}{2}$，因此$\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)$，所以f'(x)在x=0处连续。
为了使f(x)在x=0处连续，需要满足$\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$。根据f(x)的定义，当$x\neq 0$时，$f(x)=\dfrac{g(x)-\cos x}{x}$，因此需要求$\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-\cos x}{x}$。由于g(x)二阶可导，可以使用洛必达法则求解该极限。根据洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g'(x)+\sin x}{1}=g'(0)+\sin(0)=g'(0)$。因此，为了使f(x)在x=0处连续，需要$a=g'(0)$。
步骤 2：求f'(x)
当$x\neq 0$时，$f(x)=\dfrac{g(x)-\cos x}{x}$，因此$f'(x)=\dfrac{x[g'(x)+\sin x]-(g(x)-\cos x)}{x^2}$。当$x=0$时，$f'(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{g(x)-\cos x}{x}-g'(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-\cos x-xg'(0)}{x^2}$。根据洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-\cos x-xg'(0)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g'(x)+\sin x-g'(0)}{2x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g''(x)+\cos x}{2}=\dfrac{g''(0)+1}{2}$。因此，$f'(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x[g'(x)+\sin x]-(g(x)-\cos x)}{x^2},x\neq 0\\ \dfrac{g''(0)+1}{2},x=0.\end{matrix} \right.$
步骤 3：讨论f'(x)在x=0处的连续性
为了讨论f'(x)在x=0处的连续性，需要求$\lim_{x\to 0}f'(x)$。当$x\neq 0$时，$f'(x)=\dfrac{x[g'(x)+\sin x]-(g(x)-\cos x)}{x^2}$，因此$\lim_{x\to 0}f'(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{x[g'(x)+\sin x]-(g(x)-\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{g''(x)+\cos x}{2}=\dfrac{g''(0)+1}{2}$。由于$f'(0)=\dfrac{g''(0)+1}{2}$，因此$\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)$，所以f'(x)在x=0处连续。