题目
答题（共4题，40.0分）(10.0分) 求sqrt[3](-1).
答题（共4题，40.0分）
(10.0分) 求$\sqrt[3]{-1}$.
题目解答
答案
为了求解 $\sqrt[3]{-1}$，我们需要找到一个数 $x$，使得 $x^3 = -1$。我们可以通过考虑复数来解决这个问题。复数可以表示为 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r$ 是模长，$\theta$ 是辐角。
首先，将 $-1$ 写成复数形式。由于 $-1$ 在实数轴的负半轴上，它的模长 $r$ 是 1，辐角 $\theta$ 是 $\pi$（或 $3\pi, 5\pi, \ldots$，但通常我们取主辐角，即 $\pi$）。因此，我们可以写：
\[
-1 = e^{i\pi}
\]
现在，我们需要求 $\sqrt[3]{-1}$，即找到 $x$ 使得：
\[
x^3 = e^{i\pi}
\]
如果设 $x = re^{i\phi}$，那么：
\[
(re^{i\phi})^3 = r^3 e^{i3\phi}
\]
为了使 $r^3 e^{i3\phi} = e^{i\pi}$，必须有 $r^3 = 1$ 和 $3\phi = \pi + 2k\pi$，其中 $k$ 是整数。由于 $r$ 是模长，它必须是正实数，所以 $r = 1$。对于 $\phi$，我们解：
\[
3\phi = \pi + 2k\pi \implies \phi = \frac{\pi + 2k\pi}{3}
\]
取 $k = 0, 1, 2$，我们得到三个不同的解：
\[
\phi_0 = \frac{\pi}{3}, \quad \phi_1 = \frac{\pi + 2\pi}{3} = \pi, \quad \phi_2 = \frac{\pi + 4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}
\]
因此，三个解是：
\[
x_0 = e^{i\pi/3} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
x_1 = e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1
\]
\[
x_2 = e^{i5\pi/3} = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
所以，$\sqrt[3]{-1}$ 的三个值是：
\[
\boxed{-1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i}
\]
解析
本题考查复数的开方运算。解题思路是先将$-1$转化为复数的指数形式，然后根据复数的运算法则求出其三次方根。
- 将$-1$写成复数的指数形式：
在复平面中，$-1$的模长$r = 1$，辐角$\theta=\pi$，根据复数的指数形式$z = re^{i\theta}$，可得$-1 = e^{i\pi}$。 - 设$\sqrt[3]{-1}$的解为$x = re^{i\phi}$，并根据复数运算法则建立等式：
已知$x^3=-1$，即$(re^{i\phi})^3 = e^{i\pi}$。
根据复数的幂运算法则$(re^{i\phi})^n=r^n e^{in\phi}$，可得$r^3 e^{i3\phi} = e^{i\pi}$。 - 分别求解$r$和$\phi$：
- 对于模长$r$，因为$r^3 = 1$且$r\gt0$，所以$r = 1$。
- 对于辐角$\phi$，由$3\phi = \pi + 2k\pi$（$k\in Z$），解得$\phi = \frac{\pi + 2k\pi}{3}$。
- 确定$k$的值并求出三个不同的解：
取$k = 0, 1, 2$，分别计算$\phi$的值：- 当$k = 0$时，$\phi_0 = \frac{\pi}{3}$，则$x_0 = e^{i\pi/3} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$。
- 当$k = 1$时，$\phi_1 = \frac{\pi + 2\pi}{3} = \pi$，则$x_1 = e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$。
- 当$k = 2$时，$\phi_2 = \frac{\pi + 4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$，则$x_2 = e^{i5\pi/3} = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$。