题目

15. (单选题，5分) 设V：x²+y²+z²≤R²(z≥0)，V₁为V在第一卦限中的部分，则有（）。 (A) iiintlimits_(V) xdV=4iiintlimits_(V_{1)} xdV (B) iiintlimits_(V) ydV=4iiintlimits_(V_{1)} ydV (C) iiintlimits_(V) zdV=4iiintlimits_(V_{1)} zdV (D) iiintlimits_(V) xyzdV=4iiintlimits_(V_{1)} xyzdV A.(A) B.(B) C.(C) D.(D)

15. (单选题，5分) 设V：x²+y²+z²≤R²(z≥0)，V₁为V在第一卦限中的部分，则有（）。 (A) $\iiint\limits_{V} xdV=4\iiint\limits_{V_{1}} xdV$ (B) $\iiint\limits_{V} ydV=4\iiint\limits_{V_{1}} ydV$ (C) $\iiint\limits_{V} zdV=4\iiint\limits_{V_{1}} zdV$ (D) $\iiint\limits_{V} xyzdV=4\iiint\limits_{V_{1}} xyzdV$
A.(A)
B.(B)
C.(C)
D.(D)

题目解答

答案

设 $ V $ 为半球区域 $ x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 $（$ z \geq 0 $），$ V_1 $ 为 $ V $ 在第一卦限的部分。选项分析： - **(A) $\iiint\limits_{V} x \, dV = 4 \iiint\limits_{V_{1}} x \, dV$**： $ V $ 关于 $ yz $-平面对称，$ x $ 为奇函数，积分值为0，而 $ V_1 $ 中 $ x \geq 0 $，积分值为正，故不成立。 - **(B) $\iiint\limits_{V} y \, dV = 4 \iiint\limits_{V_{1}} y \, dV$**：同理，$ V $ 关于 $ xz $-平面对称，$ y $ 为奇函数，积分值为0，而 $ V_1 $ 中 $ y \geq 0 $，积分值为正，故不成立。 - **(C) $\iiint\limits_{V} z \, dV = 4 \iiint\limits_{V_{1}} z \, dV$**： $ V $ 关于 $ xy $-平面不对称，但 $ z \geq 0 $，积分值为正。$ V_1 $ 中 $ z \geq 0 $，积分值为正，且 $ V $ 的积分是 $ V_1 $ 的4倍，故成立。 - **(D) $\iiint\limits_{V} xyz \, dV = 4 \iiint\limits_{V_{1}} xyz \, dV$**： $ V $ 关于 $ yz $-平面、$ xz $-平面、$ xy $-平面均对称，$ xyz $ 为奇函数，积分值为0，而 $ V_1 $ 中 $ xyz \geq 0 $，积分值为正，故不成立。 **答案：** $\boxed{C}$

解析

本题考查利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来判断三重积分之间的关系。解题的关键在于分析积分区域$V$和$V_1$的对称性，以及被积函数的奇偶性，根据对称性和奇偶性的性质来判断各个选项是否成立。

选项A分析

积分区域$V$：$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}(z\geq0)$，它关于$yz$平面对称。
被积函数$f(x,y,z)=x$，对于$f(-x,y,z)= -x=-f(x,y,z)$，所以$x$是关于$x$的奇函数。
根据利用对称性计算三重积分的性质：若积分区域$\Omega$关于$yz$平面对称，被积函数$f(x,y,z)$是关于$x$的奇函数，则$\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dV = 0$，可得$\iiint\limits_{V} xdV = 0$。
而在区域$V_1$（$V$在第一卦限中的部分）中，$x\geq0$，所以$\iiint\limits_{V_{1}} xdV>0$，因此$\iiint\limits_{V} xdV\neq4\iiint\limits_{V_{1}} xdV$，选项A不成立。

选项B分析

积分区域$V$关于$xz$平面对称。
被积函数$f(x,y,z)=y$，对于$f(x,-y,z)= -y=-f(x,y,z)$，所以$y$是关于$y$的奇函数。
同理，根据对称性性质可得$\iiint\limits_{V} ydV = 0$。
在区域$V_1$中，$y\geq0$，所以$\iiint\limits_{V_{1}} ydV>0$，因此$\iiint\limits_{V} ydV\neq4\iiint\limits_{V_{1}} ydV$，选项B不成立。

选项C分析

积分区域$V$关于$xz$平面和$yz$平面都对称，区域$V$可以看作是由$V_1$以及关于$xz$平面、$yz$平面对称的另外三个部分组成。
被积函数$f(x,y,z)=z$，对于$f(-x,y,z)=z=f(x,y,z)$，$f(x,-y,z)=z=f(x,y,z)$，所以$z$关于$x$和$y$都是偶函数。
根据利用对称性计算三重积分的性质：若积分区域$\Omega$关于$xz$平面和$yz$平面都对称，被积函数$f(x,y,z)$关于$x$和$y$都是偶函数，则$\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dV = 4\iiint\limits_{\Omega_1} f(x,y,z)dV$，其中$\Omega_1$是$\Omega$在第一卦限的部分，可得$\iiint\limits_{V} zdV = 4\iiint\limits_{V_{1}} zdV$，选项C成立。

选项D分析

积分区域$V$关于$yz$平面、$xz$平面、$xy$平面均对称。
被积函数$f(x,y,z)=xyz$，对于$f(-x,y,z)= -xyz=-f(x,y,z)$，$f(x,-y,z)= -xyz=-f(x,y,z)$，$f(x,y,-z)= -xyz=-f(x,y,z)$，所以$xyz$是关于$x$、$y$、$z$的奇函数。
根据对称性性质可得$\iiint\limits_{V} xyzdV = 0$。
在区域$V_1$中，$x\geq0$，$y\geq0$，$z\geq0$，所以$xyz\geq0$，则$\iiint\limits_{V_{1}} xyzdV>0$，因此$\iiint\limits_{V} xyzdV\neq4\iiint\limits_{V_{1}} xyzdV$，选项D不成立。