已知函数y(x)满足微分方程xy' = y ln (y)/(x)，且在x=1时，y=e^2，当x=-1时，y=(）A. -1B. 0C. 1D. e^-1

本题考查一阶齐次微分方程的求解，解题思路是先通过变量代换将齐次微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后求解该方程得到通解，最后根据给定的初始条件确定特解，进而求出指定$x$值对应的$y$值。

1. 将原方程化为齐次方程的标准形式：
   已知$xy' = y \ln \frac{y}{x}$，等式两边同时除以$x$可得$y'=\frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}$。
2. 进行变量代换：
   设$u = \frac{y}{x}$，则$y = ux$，对$y = ux$两边求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，可得$y^\prime = u + xu^\prime$。
   将$y^\prime = u + xu^\prime$和$u = \frac{y}{x}$代入$y'=\frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}$中，得到$u + xu^\prime = u\ln u$。
3. 分离变量：
   移项可得$xu^\prime = u\ln u - u = u(\ln u - 1)$，进一步变形为$\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$。
4. 两边积分：
   对$\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$两边分别积分。
   • 先对$\int\frac{du}{u(\ln u - 1)}$进行积分，令$t = \ln u - 1$，则$dt = \frac{1}{u}du$，那么$\int\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C_1=\ln|\ln u - 1|+C_1$。
   • 对$\int\frac{dx}{x}$积分可得$\ln|x|+C_2$。
     所以$\ln|\ln u - 1| = \ln|x| + C$（$C = C_2 - C_1$）。
5. 化简通解：
   由$\ln|\ln u - 1| = \ln|x| + C$可得$\ln u - 1 = Cx$，即$\ln u = Cx + 1$，那么$u = e^{Cx + 1}$。
   因为$u = \frac{y}{x}$，所以$y = x e^{Cx + 1}$。
6. 确定常数$C$：
   已知当$x = 1$时，$y = e^2$，将其代入$y = x e^{Cx + 1}$中，可得$e^2 = 1\times e^{C\times1 + 1}$，即$e^2 = e^{C + 1}$，所以$C + 1 = 2$，解得$C = 1$。
7. 得到特解：
   将$C = 1$代入$y = x e^{Cx + 1}$中，得到特解$y = x e^{x + 1}$。
8. 求$x = -1$时的$y$值：
   将$x = -1$代入$y = x e^{x + 1}$中，可得$y = -1\times e^{-1 + 1}=-1\times e^0=-1$。