11.当 k=() () 时,函数 f(x)= ) (e)^x+2,xneq 0 k, x=0 . 在 x=0 处连续.-|||-A.0 B.1 C.2 D.3

本题考查函数在某点连续的知识点。解题思路是根据函数在某点连续的定义来确定$k$的值。函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，对于本题，就是要使$x\to0$时$f(x)$的极限值等于$f(0)$的值。

1. 首先求$x\to0$时$f(x)$的极限：
   • 当$x\neq0$时，$f(x)=e^x + 2$，那么$\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\lim\limits_{x \to 0} (e^x + 2)$。
   • 根据极限的加法法则$\lim\limits_{x \to a} (u(x)+v(x))=\lim\limits_{x \to a} u(x)+\lim\limits_{x \to a} v(x)$，这里$u(x)=e^x$，$v(x)=2$，则$\lim\limits_{x \to 0} (e^x + 2)=\lim\limits_{x \to 0} e^x+\lim\limits_{x \to 0} 2$。
   • 因为指数函数$y = e^x$在$x = 0$处连续，所以$\lim\limits_{x \to 0} e^x=e^0 = 1$，常数的极限就是其本身，所以$\lim\limits_{x \to 0} 2 = 2$。
   • 则$\lim\limits_{x \to 0} (e^x + 2)=1 + 2=3$。
2. 然后根据函数在$x = 0$处连续的定义：
   • 已知$f(0)=k$，又因为函数$f(x)$在$x = 0$处连续，所以$\lim\limits_{x \to 0} f(x)=f(0)$，即$3 = k$。