题目
9.3 极限lim_(xto+infty)(int_(e)^x(1-frac(1)/(t))^tcdot e^tdt)(e^e^{x)}=____.
9.3 极限$\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_{e}^{x}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{t}\cdot e^{t}dt}{e^{e^{x}}}$=____.
题目解答
答案
对分子求导得被积函数在 $x$ 处的值，即 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x e^x$。分母求导得 $e^{e^x} e^x$。由洛必达法则，原极限化为：
\[
\lim_{x\to+\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^x e^x}{e^{e^x} e^x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^x}{e^{e^x}}
\]
利用 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x \to e^{-1}$（当 $x \to +\infty$），得：
\[
\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{-1}}{e^{e^x}} = e^{-1} \cdot \lim_{x\to+\infty} e^{-e^x} = 0
\]
**答案：** $\boxed{0}$
解析
步骤 1：分子求导
对分子 $\int_{e}^{x}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{t}\cdot e^{t}dt$ 求导，根据微积分基本定理，导数为被积函数在 $x$ 处的值，即 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x e^x$。
步骤 2：分母求导
对分母 $e^{e^{x}}$ 求导，根据链式法则，导数为 $e^{e^x} e^x$。
步骤 3：应用洛必达法则
由洛必达法则，原极限化为： \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^x e^x}{e^{e^x} e^x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^x}{e^{e^x}} \]
步骤 4：利用极限性质
利用 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x \to e^{-1}$（当 $x \to +\infty$），得： \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{e^{-1}}{e^{e^x}} = e^{-1} \cdot \lim_{x\to+\infty} e^{-e^x} = 0 \]
对分子 $\int_{e}^{x}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{t}\cdot e^{t}dt$ 求导，根据微积分基本定理，导数为被积函数在 $x$ 处的值，即 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x e^x$。
步骤 2：分母求导
对分母 $e^{e^{x}}$ 求导，根据链式法则，导数为 $e^{e^x} e^x$。
步骤 3：应用洛必达法则
由洛必达法则，原极限化为： \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^x e^x}{e^{e^x} e^x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{x}\right)^x}{e^{e^x}} \]
步骤 4：利用极限性质
利用 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x \to e^{-1}$（当 $x \to +\infty$），得： \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{e^{-1}}{e^{e^x}} = e^{-1} \cdot \lim_{x\to+\infty} e^{-e^x} = 0 \]