题目
(14)int(e^x)/(1+e^x)dx;
(14)$\int\frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx;$
题目解答
答案
设 $u = 1 + e^x$，则 $du = e^x \, dx$。原积分变为
\[
\int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln (1 + e^x) + C,
\]
其中 $u = 1 + e^x > 0$，故绝对值可省略。
或利用恒等式 $\frac{e^x}{1+e^x} = 1 - \frac{1}{1+e^x}$，积分后化简得相同结果。
答案：$\boxed{\ln (1 + e^x) + C}$
解析
步骤 1：设 $u = 1 + e^x$
设 $u = 1 + e^x$，则 $du = e^x \, dx$。这一步是通过换元法来简化积分的计算。
步骤 2：将原积分转换为关于 $u$ 的积分
原积分变为 \[ \int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du \]。这一步是将原积分中的 $e^x$ 和 $dx$ 用 $du$ 替换，从而简化了积分的计算。
步骤 3：计算积分
\[ \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C \]。这一步是计算积分的结果，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：将 $u$ 替换回 $1 + e^x$
由于 $u = 1 + e^x > 0$，故绝对值可省略，所以 \[ \ln |u| + C = \ln (1 + e^x) + C \]。这一步是将 $u$ 替换回 $1 + e^x$，得到最终的积分结果。
设 $u = 1 + e^x$，则 $du = e^x \, dx$。这一步是通过换元法来简化积分的计算。
步骤 2：将原积分转换为关于 $u$ 的积分
原积分变为 \[ \int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du \]。这一步是将原积分中的 $e^x$ 和 $dx$ 用 $du$ 替换，从而简化了积分的计算。
步骤 3：计算积分
\[ \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C \]。这一步是计算积分的结果，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：将 $u$ 替换回 $1 + e^x$
由于 $u = 1 + e^x > 0$，故绝对值可省略，所以 \[ \ln |u| + C = \ln (1 + e^x) + C \]。这一步是将 $u$ 替换回 $1 + e^x$，得到最终的积分结果。