设随机变量X1,X 2,···,X5相互独立且都服从标准正态分布N(0,1),若-|||-.dfrac ({X)_(1)+(X)_(2)}(sqrt {{{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2+({X)_(5)}^2}}} 服从t分布,则 d= .-|||-A. sqrt (6)/2-|||-B. sqrt (6)/3-|||-C. sqrt (3)/3-|||-D. sqrt (3)

本题考查t分布的定义以及标准正态分布和卡方分布的性质。解题的关键在于将给定的随机变量表达式转化为符合t分布定义的形式。

步骤一：明确t分布的定义

若随机变量$U\sim N(0,1)$，$V\sim \chi^{2}(n)$，且$U$与$V$相互独立，则$T = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}\sim t(n)$，其中$n$为自由度。

步骤二：分析$X_1 + X_2$的分布

已知$X_1,X_2,\cdots,X_5$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$。
根据正态分布的性质：若$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且$X_1$与$X_2$相互独立，则$X_1 + X_2\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$。
对于$X_1\sim N(0,1)$，$X_2\sim N(0,1)$，可得$X_1 + X_2\sim N(0 + 0,1 + 1)=N(0,2)$。
再根据正态分布的标准化公式：若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，对$X_1 + X_2$进行标准化，令$U=\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}}$，则$U\sim N(0,1)$。

步骤三：分析$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$的分布

根据卡方分布的定义：若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}X_i^2\sim \chi^{2}(n)$。
因为$X_3,X_4,X_5$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，所以$V = X_3^2 + X_4^2 + X_5^2\sim \chi^{2}(3)$，这里自由度$n = 3$。

步骤四：将给定表达式转化为t分布形式

已知$d\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}}$服从t分布，将$U=\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}}$和$V = X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$代入可得：
$d\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}}=d\frac{\sqrt{2}U}{\sqrt{V}}$
要使其服从t分布$T = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}$（$n = 3$），则$d\frac{\sqrt{2}U}{\sqrt{V}}=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{3}}}$。
即$d\sqrt{2}=\sqrt{3}$，解得$d=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。