题目
若函数f(x-3)=x^2-6x+7，则f^prime(x)=_cdot
若函数$f(x-3)=x^{2}-6x+7$，则$f^{\prime}(x)=\_\cdot$
题目解答
答案
为了找到函数 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $，我们首先需要确定 $ f(x) $ 的表达式。已知函数 $ f(x-3) = x^2 - 6x + 7 $。我们可以通过一个替换来将 $ f(x) $ 表达为 $ x $ 的函数。
设 $ u = x - 3 $。那么 $ x = u + 3 $。将 $ x = u + 3 $ 代入给定的函数，我们得到：
\[
f(u) = (u + 3)^2 - 6(u + 3) + 7
\]
接下来，我们展开并简化右边的表达式：
\[
f(u) = u^2 + 6u + 9 - 6u - 18 + 7 = u^2 - 2
\]
由于 $ u $ 只是一个虚拟变量，我们可以将 $ u $ 替换为 $ x $ 来得到 $ f(x) $：
\[
f(x) = x^2 - 2
\]
现在，我们需要找到 $ f(x) $ 的导数。使用幂规则，该规则指出 $ x^n $ 的导数是 $ nx^{n-1} $，我们得到：
\[
f'(x) = 2x
\]
因此，$ f'(x) $ 的值是：
\[
\boxed{2x}
\]
解析
本题考查函数解析式的求解以及导数的计算。解题思路是先通过换元法求出函数$f(x)$的表达式，再对$f(x)$求导。
- 换元求出$f(u)$的表达式：
设$u = x - 3$，则$x = u + 3$。
将$x = u + 3$代入$f(x - 3)=x^{2}-6x + 7$中，可得$f(u)=(u + 3)^{2}-6(u + 3)+7$。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开$(u + 3)^{2}$得$u^{2}+6u + 9$，则$f(u)=u^{2}+6u + 9-6u - 18 + 7$。
合并同类项：$6u-6u=0$，$9-18 + 7=-2$，所以$f(u)=u^{2}-2$。 - 得到$f(x)$的表达式：
因为函数的自变量可以用任意字母表示，所以$f(x)=x^{2}-2$。 - 对$f(x)$求导：
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对于$f(x)=x^{2}-2$，其中$x^2$的导数为$2x^{2 - 1}=2x$，常数$-2$的导数为$0$。
所以$f^\prime(x)=(x^{2}-2)^\prime=(x^{2})^\prime-(2)^\prime=2x-0 = 2x$。