题目

请用最简分数或正数填空：一只虫子沿着田字格从左下方爬到右上方，走最短路径，共有（ ）不同的路径走法，其中正好经过中心点的走法有（ ）种，因此，虫子正好经过田字格中心的概率是（ ）

请用最简分数或正数填空：一只虫子沿着田字格从左下方爬到右上方，走最短路径，共有（ ）不同的路径走法，其中正好经过中心点的走法有（ ）种，因此，虫子正好经过田字格中心的概率是（ ）

题目解答

答案

我们来一步一步分析这个题目。

题目理解：

“田字格”是一个 2×2 的方格，也就是由 3 条横线和 3 条竖线组成的网格，形成 4 个小正方形，形状像“田”。

我们把左下方的点看作起点，坐标设为 (0,0)，右上方的点是终点，坐标为 (2,2)。

虫子从 (0,0) 出发，沿着网格线爬行，只能向右或向上走（因为要走“最短路径”），最终到达 (2,2)。

第一步：求从 (0,0) 到 (2,2) 的最短路径总数

在网格中，从 (0,0) 走到 (2,2)，每次只能向右（R）或向上（U），最短路径必须走：

  • 向右 2 步
  • 向上 2 步

总共走 4 步，其中选择 2 步向右（其余为向上），路径数为组合数：

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$

所以，共有 6 种不同的最短路径。

第二步：求“正好经过中心点”的路径数

田字格的“中心点”指的是整个 2×2 网格的几何中心，也就是坐标 (1,1)。

我们要计算：从 (0,0) 到 (2,2) 的最短路径中，经过点 (1,1) 的路径有多少条。

我们可以分两段计算：

  1. 从 (0,0) 到 (1,1)：需要 1 次右、1 次上，共 2 步，路径数为：
    $\binom{2}{1} = 2$

  2. 从 (1,1) 到 (2,2)：同样需要 1 次右、1 次上，路径数也是：
    $\binom{2}{1} = 2$

所以，经过 (1,1) 的路径总数为：
$2 \times 2 = 4$

第三步：求虫子正好经过中心点的概率

总路径数：6
经过中心点的路径数：4

所以概率为：
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

填空答案：

共有（ 6 ）不同的路径走法，
其中正好经过中心点的走法有（ 4 ）种，
因此，虫子正好经过田字格中心的概率是（ 2 ）/（ 3 ）

注意题目要求“用最简分数或正数填空”，最后一空是分数形式。

✅ 最终答案：

$\boxed{6},\ \boxed{4},\ \boxed{\dfrac{2}{3}}$

解析

本题主要考查组合数的计算以及概率的计算。解题的关键在于利用组合数公式计算最短路径的数量，通过分步计算经过中心点的路径数量，最后根据概率的定义求出经过中心点的概率。

  1. 计算从$(0,0)$到$(2,2)$的最短路径总数：
    • 因为虫子只能向右或向上走，从$(0,0)$到$(2,2)$，需要向右走$2$步，向上走$2$步，总共走$4$步。
    • 从$4$步中选$2$步向右走的组合数记为$\binom{4}{2}$，根据组合数公式$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 4$，$k = 2$，则$\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4\times3\times2\times1}{(2\times1)\times(2\times1)} = 6$。所以，从$(0,0)$到$(2,2)$共有$6$种不同的最短路径。
  2. 计算正好经过中心点$(1,1)$的路径数：
    • 从$(0,0)$到$(1,1)$，需要向右走$1$步，向上走$1$步，总共走$2$步。从$2$步中选$1$步向右走的组合数记为$\binom{2}{1}$，根据组合数公式$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 2$，$k = 1$，则$\binom{2}{1}=\frac{2!}{1!(2 - 1)!}=\frac{2\times1}{1\times1}= 2$。
    • 从$(1,1)$到$(2,2)$，同样需要向右走$1$步，向上走$1$步，总共走$2$步。从$2$步中选$1$步向右走的组合数记为$\binom{2}{1}$，$\binom{2}{1}= 2$。
    • 根据分步乘法计数原理，从$(0,0)$到$(2,2)$经过$(1,1)$的路径总数为从$(0,0)$到$(1,1)$的路径数乘以从$(1,1)$到$(2,2)$的路径数，即$2\times2 = 4$种。
  3. 计算虫子正好经过中心点的概率：
    • 概率的计算公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数。
    • 这里$n = 6$（总路径数），$m = 4$（经过中心点的路径数），所以虫子正好经过田字格中心的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。